Nota 10 - 19 / 05 / 2000

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Nos escribió María José, con una solución para el problema de Pablo propuesto en la nota 5:

• Diremos que un número natural es travieso si su desarrollo binario tiene un cantidad impar de dígitos 1; 6 no es travieso porque su desarrollo binario es 110 que tiene un cantidad par de dígitos 1.
Determinar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales que 1997.

Su solución es la siguiente:

Respecto al problema de Pablo de la nota 5, he calulado todos los numeros traviesos que hay hasta el numero 2047 (que es el 11111111111 en binario). Puesto que se rellenan completamente 11 posiciones de todas las formas posibles con ceros y unos, habrá el mismo numero de traviesos que de los otros. Por lo tanto, 1024 traviesos. A estos habrá que deducirles los traviesos que haya del 1998 hasta el 2047.

Tambien podriamos  "contar" así los traviesos hasta el 2047:

-con un 1.......11!/1!*10! = 11
-con tres 1.....11!/3!*8! =165
-con cinco 1...11!/5!*6! =462
-con siete 1....11!/71*4!=330
-con nueve 1...11!/9!*2! =55
-con 11 unos.. 11!/11!*0! =1  

En total tenemos 1024 hasta el numero 2047 inclusive.

Desde el 2000 hasta el 2015 todos comienzan por 1111101_ _ _ _  y por tanto hay 16/2 = 8 traviesos.
Desde el 2106 hasta el 2047 todos comienzan por 111111_ _ _ _ _ y por tanto hay 32/2=16 traviesos.
El 1999 tambien es travieso por lo que habra de deducirlo tambien de los 1024 totales.

Así pues por mis cuentas habría 1024 - (16+8+1) = 999 números traviesos menores o iguales que 1997.

¡La solución está muy bien! Pero hay varias soluciones posibles. Esperamos que nos envíen otras soluciones.

Hay una solución muy elegante, que es similar a la que hicimos en el problema del pretorneo.

Una ayuda: María José dice que entre 0 y 2047 hay la misma cantidad de traviesos que de los otros. Y también dice que entre 0 y 15 o entre 0 y 31 hay la misma cantidad de traviesos que de los otros. Esto es cierto. ¿Pero por qué sucede eso? ¿Para qué valores sucede? Y otra cosa qué puede ayudar: ¿qué relación hay entre 1997 y 999?

Acá terminamos por ahora, piensan el problema y escribannos. ¡Será hasta la próxima!

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