Clase 3 - Criterios de divisibilidad
En varias oportunidades hemos tratado el tema de los criterios de divisibilidad. Sin embargo, salvo en el caso del 9, no hemos visto como aplicarlos a la hora de resolver problemas. Esta clase haremos un breve repaso de las distintas reglas, que probablemente sepan de la escuela, y luego veremos algunos problemas al respecto.
Como habíamos mencionado en la clase 14 escribimos a | n para decir que el número "a" divide al número "n". Esto último implica que existe un número entero k tal que n = a.k. Por ejemplo, 5 divide a 20 ya que 20 = 5.4.
Un número "n" no siempre es divisible por un número "a". Cuando esto ocurre diremos que "n" tiene resto "b" en la división por "a" si n = a.k + b con k entero y 0 < b < a. Por ejemplo 23 tiene resto 3 en la división por 5 porque 23 = 5.4 + 3 y 0 < 3 < 5. Del mismo modo 47 tiene resto 5 en la división por 7 porque 47 = 7.6 + 5 y 0 < 5 < 7. Dicho de otro modo, el resto al dividir "n" por "a" es lo que sobra al final de la división. Cuando "n" es divisible por "a" el resto al dividir "n" por "a" es cero.
Existen varios criterios para saber si un número es divisible por otro.
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo, 141171 es divisible por 3 porque 1 + 4 + 1 + 1 + 7 + 1 = 15 es divisible por 3. De hecho existe un criterio más general que el expuesto:
El resto de un número en la división por 3 es igual al resto de la suma de las cifras del número en la división por 3. En particular un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Por ejemplo, 213124 tiene resto 1 en la división por 3 porque 2+1+3+1+2+4 = 13 tiene resto 1 en la división por 3 (porque 13 = 3.4+1). La demostración de esta regla se desprende de la demostración del criterio de divisibilidad por 9 visto en la clase 2.
Criterio de divisibilidad por 4
Un número n tiene resto "a" en la división por 4 si el número formado por las dos últimas cifras tiene resto "a" en la división por 4.
Por ejemplo 356752 es divisible por 4 porque 52 es divisible por 4. Del mismo modo 47863423 tiene resto 3 en la división por 4 porque 23 tiene resto 3 en la división por 4.
La demostración de este criterio es sencilla. Si a N le restamos el número formado por sus dos últimas cifras (llamémoslo B) obtenemos un número terminado en dos ceros, o sea múltiplo de 100 y por tanto múltiplo de 4. Entonces dado que 4 | N-B, según lo visto en las clases de congruencias tenemos que N = B mód(4), o lo que es lo mismo N tiene el mismo resto en la división por 4 que B.
Criterio de divisibilidad por 5
Intenten demostrar esta regla utilizando la misma idea que usamos para el criterio de divisibilidad por 4.
Criterio de divisibilidad por 9
El resto al dividir un número "n" por 9 es igual al resto al dividir a la suma de las cifras de "n" por 9.
Por ejemplo, 18225 es divisible por 9 porque 1+8+2+2+5 = 18 que es divisible por 9. El resto al dividir 1346 por 9 es igual al resto al dividir 1+3+4+6 = 14 por 9, es decir el resto es 5. De hecho 1346 = 149 . 9 + 5.
Criterio de divisibilidad por 11
El resto al dividir un número natural N por 11, es igual al resto de dividir la suma alternada de sus cifras por 11, comenzando por la derecha. En particular, un número n es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en lugar par y la suma de las cifras en lugar impar es divisible por 11.
Veamos si 12375 es divisible por 11. Las cifras en lugar par (de derecha a izquierda) son 7 y 2, y las cifras en lugar impar son 5, 3 y 1. Usemos el criterio (2+7) - (1+3+5) = 0 que es divisible por 11. Por tanto 12375 es divisible por 11.
El resto al dividir 34523457 por 11 es igual al resto al dividir a 7-5+4-3+2-5+4-3 = 1 por 11.
Criterios de divisibilidad por 7 y por 13
Sea N = an an-1 ..... a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 donde a0 es el dígito de las unidades, a1 el de las decenas, etc. Entonces N = a2 a1 a0 - a5 a4 a3 + a8 a7 a6 - a11 a10 a9 +.... mód(1001).
Veamos un ejemplo:
Hallar el resto al dividir N = 3932089562389214 por 13. Sabemos que N tiene el mismo resto en la división por 1001 que 214-389+562-089+932-3 = 1227. Es decir que N = 1227 mód(1001) y además 1227 = 227-1 mód(1001).
Por tanto, N = 226 mód(1001). Entonces N-226 es divisible por 1001 y por tanto en divisible por 13 ya que 1001 = 7.11.13. Es decir que 13| N-226, lo cual equivale a N = 226 mód(13). Dado que 226 = 5 mód(13) entonces N = 5 mód(13).
El mecanismo para hallar el resto al dividir N por 13 (o por 7 que es lo mismo) es el siguiente:
La demostración de este criterio la pueden encontrar, también, en la clase 14.
A continuación les proponemos algunos problemas para que pongan en práctica lo que vimos esta clase. Les sugerimos que intenten resolver las situaciones por cuenta propia antes de recurrir a las soluciones.
A. Decidir si existe enteros positivos a y b tales que a2+b2=111...1
B. Utilizando, una sola vez cada uno de los siguientes dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se quieren formar 2 números cuya suma sea divisible por 3. ¿Es esto posible?
C. Andrés y Blas juegan al siguiente juego: colocan por turnos (comenzando por Andrés) dígitos del 1 al 9 en los siguiente seis espacios __ __ __ __ __ __. Vale repetir. Si el número formado es múltiplo de 143 gana Blas, de lo contrario gana Andrés. Decidir quien tiene la estrategia ganadora y determinar dicha estrategia.
D. ¿Es posible ordenar las cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6 para formar un número divisible por 11?
E. Se consideran los pares de números (0,5); (1,6); (2,7); (3,8); (4,9). Con los dígitos de cada par se forma un número tal que sus cifras sean solamente las del par. Por ejemplo con el par (1,6) se puede armar el número 1161, pero no el 1162. ¿Es posible armar un número por cada par de modo que la suma de los 5 números sea 2001?
Soluciones
A. Los números "a" y "b" no pueden ser los dos pares pues en ese caso a2 + b2 sería par (por lo que no puede terminar en 1). Lo mismo sucede si "a" y "b" son ambos impares pues la suma de dos impares es par por lo que a2 + b2 es par y no puede terminar en 1.
Supongamos, sin perder generalidad, que "a" es par es decir de la forma 2k y "b" impar es decir de la forma 2n+1. Entonces a2 = 4k2 y b2 = 4n2 + 4n + 1 por lo que a2 + b2 = 4k2 + 4n2 + 4n + 1 = 4(k2 + n2 + n) + 1. Es decir a2 + b2 tiene resto 1 en la división por 4, pero 1111...1 como termina en 11 tiene resto 3 en la división por 4. Por tanto no existen "a" y "b" que cumplan con el enunciado.
Un resultado interesante que se desprende de este problema y que aparece frecuentemente, es que los cuadrados perfectos sólo pueden tener resto 0 ó 1 módulo 4. Con esta idea pueden demostrar, por ejemplo, que no hay ningún cuadrado perfecto que termine en 26, ni en 51.
B. Sea A el primer número y B el segundo. Sabemos que el resto al dividir A por 3 es igual al resto al dividir la suma de sus cifras por 3. Lo mismo sucede con B.
Entonces el resto al dividir por 3 a A+B es igual al resto al dividir la suma de las cifras de A, más la suma de las cifras de B, por 3. Como las cifras de A y B son los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en algún orden entonces sabemos que la suma de las cifras de A más las suma de las cifras de B es igual a 28, que tiene resto 1 en la división por 3. Entonces A+B también tiene resto 1 en la división por 3 y por lo tanto no es divisible por 3.
C. Dado que 143 = 11.13 entonces 143 | 1001. Veamos que Blas puede lograr que el número de 6 cifras sea divisible por 1001, y por tanto, por 143.
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La estrategia es la siguiente: cuando Aníbal coloca un dígito, Blas coloca el mismo dígito en el otro espacio con el mismo color, y así hasta terminar de escribir las seis cifras. Como el número formado por las tres primeras cifras es igual al número formado por las tres últimas, al restar ambos números obtenemos cero que es divisible por 1001 y por tanto el número de seis cifras será también múltiplo de 1001 como queríamos probar.
D. Sea "x" la suma de las cifras en posición par e "y" la suma de las cifras en posición impar. Supongamos que x > y (el otro caso es igual). Sabemos que x + y = 1+2+3+4+5+6 = 21 en algún orden, y que x-y debe ser divisible por 11 para que el número sea múltiplo de 11.
Por un lado sabemos que x-y no puede ser cero porque sino x = y lo que implica que x+y = 2x que es par y 21 es impar. Por otro lado x-y es menor que 22 porque x+y = 21. Por tanto, el único valor que podría tomar x-y (para que sea divisible por 11) es 11. Es decir:
x + y = 21
x - y = 11
Sumando ambas ecuaciones tenemos que (x + y) + (x - y) = 2x = 21+11 = 32 por lo que x = 16 y entonces y = 5. Pero la menor suma que se puede lograr con 3 dígitos es 1+2+3 = 6 > y, por lo que no es posible ordenar los dígitos para formar un número divisible por 11. Asombroso, ¿no?
E. Hallemos el resto al dividir la suma de los números por 5.
Entonces cuando sumo los números de cada par el resultado tendrá un resto igual a 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 en la división por 5, es decir, será divisible por 5. Por tanto, el resultado no puede ser 2001 pues no es divisible por 5.
Como siempre les dejamos algunos problemas para que se entretengan y practiquen.
Problemas
1. Decidir si es posible ordenar los siguientes números uno al lado del otro de forma que el número de veinte cifras resultante sea primo: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.
2. Se sabe que 2003 es la suma de tres cuadrados perfectos. Demostrar que los tres números son impares.
3. Inventar un criterio de divisibilidad por 8 y otro por 25.
4. Hallar los dígitos que faltan en la siguiente igualdad:
1 . 2 . 3 . ... . 14 . 15 = 13_7_ 7463_ _ _ _
5. Sea a, b y c tres números primos tales que la suma de sus cuadrados es un número primo. Demostrar que alguno de esos números es el 3.
Esta fue la tercera clase de Miscelánea 2001, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.
Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .
También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.
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