Clase 2 - Criterio de divisibilidad por 9

En esta clase veremos el criterio de divisibilidad por 9. En realidad, veremos un poco más que eso, pues encontraremos un criterio que nos diga el resto al dividir un número por 9. Por si no lo recuerdan, el resto al dividir un número por 9 es lo que sobra al efectuar la división. Comenzamos proponiéndoles algunos problemas ...

A. Utilizando, una sola vez cada uno de los siguientes dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se quiere formar dos números, A y B, cuya suma sea múltiplo de 9. ¿Es esto posible?

B. Julia intercambió los dígitos de un número de 3 cifras distintas de modo que ninguna quedó en su posición original. Después restó el número viejo menos el nuevo y el resultado fue un cuadrado perfecto de dos cifras. Hallar todos los resultados que pudo obtener Julia.

C. Hallar todos los valores enteros de n para los cuales n+19 y n+99 sean ambos potencias de 9.

D. Un mago realiza el siguiente truco. Le pide a un espectador que elija un número menor que un millón y mayor que 10. Luego le pide que le reste la suma de las cifras. Una vez hecho esto el mago le pide al espectador que sume las cifras del resultado y que vuelva a efectuar esta última operación. Entonces, luego de invocar sus poderes telepáticos el mago dice: "el resultado que obtuvo fue ..."

Vayamos directo al criterio de divisibilidad del 9. Sea N un número entero y a₀, a₁, ..., a_k los dígitos de N leído de derecha a izquierda. Como N está escrito en base 10 entonces:

N = a_k10^k + ... + a₁10¹ + a₀ = (99...9 . a_k + ... + 9 . a₁) + (a_k + ... + a₁ + a₀)

Los números dentro del primer paréntesis (los azules) son todos múltiplos de 9 por lo que la suma de los números en el segundo paréntesis (que es la suma de las cifras de N) tiene el mismo resto en la división por 9 que N como queríamos demostrar.

Veamos algunos ejemplos. El número 18225 es divisible por 9 pues la suma de sus cifras es 18, que es divisible por 9. El resto al dividir 1346 por 9 es igual al resto el dividir 1+3+4+6 por 9, que es 5. De hecho, 1346 = 149 . 9 + 5.

Ahora tienen más herramientas para resolver los problemas que propusimos al comienzo de esta clase. Si nos les salieron antes, intenten nuevamente antes de seguir adelante.

Soluciones

A. Estudiemos algunos ejemplos para ver si encontramos alguna regularidad. Por ejemplo si A = 523 y B = 6174 tenemos que A+B = 6697. Veamos qué resto tiene en la división por 9. Como 6+6+9+7 = 28 que tiene resto 1 en la división por 9 entonces 6697 también. Noten que también podríamos haber hecho la división de 6697 por 9 y ver que 6697 = 744 . 9 + 1.

Si A = 2416 y B = 753 entonces A+B = 3169 = 352 . 9 + 1. Y si A = 73564 y B = 21, ¿tendrá A+B resto 1 en la división por 9? Sí, porque A+B = 73585 = 8176 . 9 + 1. ¿Pasará en general?

Busquemos, ahora una demostración, de este hecho que aparentemente es cierto. Sabemos que el resto al dividir A por 9 es igual la resto al dividir la suma de sus cifras por 9. Lo mismo pasa con B.

Entonces el resto al dividir A+B por 9 es igual al resto al dividir las suma de las cifras de A, más la suma de las cifras de B, todo por 9. ¡Pero las cifras de A y B son los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 repartidas en algún orden! Entonces sabemos que la suma de las cifras de A más la suma de las cifras de B es igual a 1+2+3+4+5+6+7 = 28, que tiene resto 1 en la división por 9. Por tanto, A+B también tendrá resto 1 en la división por 9 y, claramente, no será divisible por 9.

B. El número nuevo y número viejo tienen ambos las mismas cifras, por lo que tendrán los dos el mismo resto en la división por 9. Al efectuar la diferencia entre estos números obtendremos, por tanto, un número que es múltiplo de 9. Los cuadrados perfectos de dos cifras que son múltiplos de 9 son el 36 y el 81.

Aún nos falta probar que Julia pudo obtener dichos resultados, pues podría suceder que a pesar de nuestro razonamiento, siga habiendo alguna condición que impida llegar a estos resultados. Basta con un ejemplo para probar que Julia pudo obtener ambos resultados:
423 - 342 = 81 y 218 - 182 = 36.

No sé si habrán notado, pero en el enunciado se hacían un par de aclaraciones que no eran necesarias. Como por ejemplo que los dígitos del número de Julia eran distintos o que el número nuevo no tenía ninguna cifra en el mismo lugar que el número viejo.

C. Supongamos que n+19 y n+99 son ambos divisibles por 9. Entonces también debería serlo su diferencia: (n+99) - (n+19) = 80, lo cual no sucede. Es decir que alguno de los números no era divisible por 9. La única potencia de 9 que no es divisible por 9 es 1 (sí, 1 es una potencia de 9, pues 9 elevado a la cero da 1). Por tanto, el menor de los números deberá ser igual a 1 (pues además es la menor potencia no negativa de 9), n+19 = 1 por lo que n = -18. Y efectivamente n+19 = 1 y n+99 = 81 que son ambas potencias de 9.

D. El mago dirá 9. Como se habrán dado cuenta, no hay más magia en este truco que la que pueda proporcionar la teoría de números, que es la rama de las matemáticas que se ocupa de los números enteros.

Debido a que el número que eligió el espectador, llamémoslo N, tiene el mismo resto en la división por 9 que la suma de sus cifras, al efectuar la diferencia el resultado será un múltiplo de 9 mayor que cero (pues N era mayor que 10). La suma de las cifras de este número, pongamos A, será también un múltiplo de 9 (distinto de cero) y como N era menor que 1.000.000 entonces la suma de las cifras de A será menor que 9+9+9+9+9+9 = 54, mayor que cero y múltiplo de 9. Entonces la suma de las cifras de este resultado será siempre 9, como hábilmente predijo el mago.

Para terminar esta clase les dejamos algunos problemas para que se entretengan.

Problemas

1. Utilizando todos los dígitos del 1 al 9 excepto uno, una sola vez cada uno, se quiere formar dos números que sean ambos múltiplos de 9. ¿Cuál de los dígitos se debe excluir?

2. ¿Es el número 654321 un número primo?

3. Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, sin repetir, se forman 3 números de dos cifras cada uno. Se suman los tres números así obtenidos. ¿Cuáles son todos los resultados que se pueden obtener mediante entre procedimiento?

4. Hallar el menor número que tenga todas sus cifras iguales y sea divisible por 126.

5. ¿Puede el número 111...1 formado por 300 unos, ser un cuadrado perfecto?

6. Fernando le pide a Laura que elija un número cualquiera mayor que cero, y que le agregue un cero al final. Luego le dice que al número que haya obtenido le reste el número que pensó. Finalmente Fernando le pide a Laura que borre un dígito cualquiera (distinto de cero) del resultado y que le diga la suma de las cifras de número que quedó. ¿Cómo puede hacer Fernando para adivinar el dígito que borró Laura?

7. Demostrar que para cualquier natural N, el resto al dividir N por 3 es igual al resto al dividir la suma de las cifras de N por 3.

Esta fue la segunda clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

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