Clase 5 - El incentro

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Parte 1 - Actividades

Nos dedicaremos en esta clase al incentro.

1-1 Distancia de un punto a una recta

Necesitamos antes de empezar con el incentro, ver como medir la distancia de un punto a una recta.

1. Trazá una recta r y un punto P fuera de ella.
2. Colocá un punto Q sobre la recta. Trazá el segmento PQ y medilo.
3. ¿Qué pasa con esta medida al mover Q sobre r?

Como verás, la distancia no es constante. Entonces no sirve para definir distancia tomar un punto cualquiera.

1. ¿Cuál te parece una buena definición?

Definimos distancia de un punto a una recta como el mínimo de las medidas entre el punto y un punto de la recta.

1. Mové el punto Q y averiguá cuándo es mínima la medida del segmento PQ.

Obtenemos entonces que la distancia de un punto a una recta, se obtiene trazando la perpendicular por el punto a la recta y midiendo el segmento formado por el punto y la intersección.

1-2 Bisectrices de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. En el Cabri existe el comando bisector que traza la bisectriz de un ángulo. Para usarlo, debemos señalar tres puntos que determinen el ángulo querido. Como el Cabri no trabaja con semirrectas, trazará toda la recta.

1. Trazá dos rectas, que llamaremos r y s, y la bisectriz de uno de los ángulos formados.
2. Colocá un punto sobre la bisectriz. ¿Qué propiedad tienen estos puntos? Para contestar esta pregunta, medí las distancias del punto a las dos rectas.
3. ¿Podrías demostrarlo tu observación?

Concluimos entonces que todos los puntos de la bisectriz de un ángulo están a igual distancia de las semirrectas que lo forman.

1-3 Bisectrices de un triángulo

1. Creá un triángulo ABC.
2. Trazá las bisectrices de los tres lados y mové la figura. ¿En cuántos puntos se cortan?

Sí, siempre se cortan en un punto. Esta es una propiedad muy importante de las bisectrices.

3. Demostrá esta propiedad. Sugerencia: usar la actividad anterior.
4. Marcá la intersección de las tres mediatrices y llámala I.
5. ¿Puede suceder que I quede afuera del triángulo ABC? ¿Por qué?

1-4 El incentro

1. Trazá por I la recta perpendicular al lado AB. Nombrá P a la intersección de esta recta con el lado correspondiente.
2. Trazá la circunferencia con centro I que pase por P.
3. En cuántos puntos corta esta circunferencia al lado AB. ¿Por qué? (¡Acordate la primera actividad que hicimos!)
4. ¿Qué pasa con los otros lados? Mové los puntos y fíjate si tu observación se cumple siempre.
5. ¿Te animás a decir por qué?

• El punto I se llama circuncentro y la circunferencia que trazaste es la inscripta al triángulo. Esta circunferencia es tangente a los tres lados. (En un plano, una circunferencia y una recta son tangentes si se cortan en un único punto.)

Parte 2. Problemas

2.1 Dado un cuadrilátero ABCD, ¿existirá siempre una circunferencia que pase por los cuatro vértices?

2.2 En un triángulo equilátero se trazan las circunferencias inscriptas y circunscriptas al triángulo. ¿Cuál es la razón entre las áreas de las dos circunferencias?

2.3 Sea r el radio de la circunferencia inscripta a un triángulo ABC y p el perímetro del triángulo. Probar que el área de ABC es (p . r) / 2

2.4 Sea ABC un triángulo rectángulo en A, r es el radio de la circunferencia inscripta en ABC y a es la medida del lado BC. Probar que el área del triángulo es (a + r) . r.

Así terminamos la quinta clase de EduCabri, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntenos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

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