Clase 14 - Problemas III
Esperamos sus mails en educabri@oma.org.ar.
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Nivel Inicial
Les recordamos el problema que les propusimos la clase pasada:
Dado un cuadrilátero convexo ABCD tal que el área de ABC es mayor que el área de ACD, trazar una recta que pase por A y que lo divida en dos partes de igual área.
Los problemas más comunes de áreas involucran el cálculo de superficies de cuadriláteros, triángulos, círculos, etc. La dificultad en este problema está en que no nos piden calcular el área de una cuadrilátero en particular sino dividir en dos a un cuadrilátero genérico. Con genérico queremos decir que no vale elegir un cuadrilátero en particular, como un cuadrado, un paralelogramo, etc. y hacer la construcción para esa figura. Se debe resolver el problema para cualquier cuadrilátero cuya área de ABC sea mayor que el área de ACD.
En la clase 7 vimos que si dos triángulos tienen la misma base y la misma altura, entonces tienen la misma área. También vimos que si t es una recta paralela a un segmento AB, y C y D son dos puntos cualesquiera de la recta t, entonces ABC y ABD tienen la misma área. Si no lo recuerdan o si nunca lo vieron, les sugerimos que vean la clase 7.
| Hagamos una figura de análisis para aclarar un poco las cosas. Recuerden que ésta, es sólo una figura para visualizar el problema, pero que estamos resolviendo el caso general. |
Tracemos por D una recta paralela a AC que cortará a la recta BC en el punto P:
| Como PD es paralelo a AC entonces las distancias
desde P y D a la recta AC es la misma. Por lo tanto, al
tener los triángulos ACD y ACP la misma base AC y la
misma altura, tendrán la misma área. ¿De qué nos
puede servir esto? El asunto es que entonces APB y ABCD tendrán la misma área!!!! |
Entonces, debemos dividir en dos figuras de igual área al triángulo ABP trazando una recta por A. Esto se soluciona trazando la mediana desde A, que es el segmento que una a A con el punto medio de BC.
| Los triángulos ABM y AMP tienen la misma área pues
ambos tienen la misma base, al ser BM = MP y la misma
altura desde A. Es decir, que el área de ABM es la mitad
del área del triángulo ABP y por lo tanto, la mitad del
área de ABCD !!!! Pero, ¿para qué necesitamos que el área de ABC sea mayor que el área de ACD? Justamente, para que M sea un punto del segmento BC y no quede afuera. ¿Se animan a fijarse por qué M cae en el segmento BC? |
Actividades y problemas
1. Sea ABC un triángulo y sea P un punto cualquiera en el segmento AB. Construir una recta que pase por P y que divida al triángulo en dos figuras de igual área.
2. Dado un cuadrilátero cualquiera, construir un triángulo isósceles de igual área.
3. Hacer la construcción del problema que tratamos hoy usando el Cabri. Verificar que al mover los puntos de lugar la figura no se desarma y queda dividida en dos figuras de igual área.
Les dejamos el problema que vamos a tratar la clase que viene para que lo vayan pensado ...
Construir dos cuadrados tal que la uno tenga 5 veces el área del otro.
Nivel Avanzado
Les recordamos el problema que propusimos la clase pasada:
Sea K una circunferencia y sean A, B y C puntos sobre ella. Sea r la bisectriz de BAC, s la perpendicular a r que pasa por B y t la perpendicular a r que pasa por C. Sea P la intersección entre r y s. Sea Q la intersección entre r y t. Sea O el punto medio de PQ. Hallar el lugar geométrico de O a medida que A se mueve en K por el arco mayor determinado por BC.
Hagamos una figura de análisis porque tantas letras marean un poco ....
| ¿Recuerdan lo que es hallar un lugar geométrico? La
idea es encontrar todos los puntos del plano que recorre
O al mover A sobre el arco BC. Este problema tiene varias soluciones. Nosotros les proponemos una, que consideramos es la más sencilla. |
Marquemos el punto T, intersección entre la recta r y la circunferencia K; y el punto medio M del segmento BC.
| En primer lugar, vemos que las rectas s y t son
paralelas pues ambas son perpendiculares a la recta r.
Dado que O es el punto medio de PQ y M es el punto medio
de AB entonces OM es paralelo a s y t, ¿se animan a
probarlo? De este modo MO es perpendicular a la recta r. Por el otro lado, BAT = TAC por ser r bisectriz de A. Entonces el arco BT es igual al arco CT, por lo que T está en la mitad del arco BC y es un punto fijo (es decir que no cambia al varia A). |
De este modo, el punto O cumple lo siguiente: MOT = 90° donde M y T son dos puntos fijos. Por lo tanto, O se encuentra sobre la circunferencia W de diámetro MT que es el lugar geométrico del arco capar de 90°.
Todavía nos falta por ver si O puede estar en cualquier lugar de la circunferencia W, que de hecho, no puede estarlo.
| Sean D y E los puntos de intersección de W con BT y
CT respectivamente. Claramente O no podrá pertenecer al
arco DTE. Intenten probarlo ... Nos falta ver que O puede estar en cualquier otro punto de W. La idea es la siguiente:
|
Actividades y problemas
1. Para los que conocen potencia de un punto, traten de resolver el problema de la clase de hoy probando primero que AO / AT es constante.
2. Se tiene una circunferencia C y un punto P en su exterior. Sea T en C tal que PT es tangente a la circunferencia. Sea Q un punto en C. La recta PQ interseca a C en Q y R. La bisectriz del ángulo QTR interseca a RQ en A. Hallar el lugar geométrico de A al moverse Q sobre C.
Les dejamos el problema que vamos a tratar la clase que viene para que lo vayan pensado ...
a) Dada una circunferencia K y dos puntos A y B, de modo que la recta AB no corte a la circunferencia, construir el punto C sobre K de modo que el área de ABC sea mínima.
b) Sea D sobre K de modo que el área de ABD sea máxima. Hallar la diferencia entre las áreas de ABD y ABC en función de AB y del radio de K.
Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!
Esta fue la décimo cuarta clase de EduCabri 2000, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.
Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .
También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.
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