<< Series que suman Pi >>
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Para poder entender parte de esta explicación se necesita saber análisis matemático.
La primera de las dos series que aparecen en Las cifras de pi es:
= 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 -1/11
+1/13 ...)
o lo que es lo mismo
/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 -1/11
+1/13 ...
Si tomamos la función
f(x)= x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + x9/9 -x11/11 +x13/13 ...
resulta que f(x)=ArcoTangente(x) (en radianes, en análisis aparece todo en radianes) y en particular nuestra serie es
ArcoTangente(1)=90°=/4
La forma más fácil de obtener la serie es usando la igualdad
ArcoTangente(x) =
=
=(1 -x2 +x4 -x6 +x8 - x10 +x12 + ...) dx =
= x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + x9/9 -x11/11 +x13/13 ...
La otra serie que utilizamos es:
Da manera análoga definimos la función
g(x)=
entonces se puede demostrar que
g(x)=
La demostración de esta igualdad es mucho más difícil que en el caso anterior.
A esta serie la encontré en un
articulo de una Scientific American del 92/93 sobre métodos para
calcular (Estoy
buscando la referencia exacta.). En la revista había un programa
en C que calculaba utilizando esta serie aunque venía sin
explicaciones. El método no es exactamente igual ya que no lo
escribe en base factorial. Preparando esta lección encontré la
pagina http://www.econos.com/optimize sobre optimización de Delphi (Pascal)
que calcula con el método original como un ejemplo de optimización (estas
paginas están en inglés).
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