<< Existencia de la factorización >>

Hay dos posibilidades:

O todos los enteros mayores que 1 se pueden escribir como producto de primos, o no. Queremos ver que sí, así que analizamos el otro caso y llegamos a una contradicción.

Supongamos que no, entonces elegimos el número más chico que no se puede factorizar en primos y lo llamamos n . Este número no puede ser primo, ya que el es el producto de 1 sólo primo "n=p". Así que tiene que tener algún divisor distinto de 1 y de si mismo, que llamaremos d. Pero entonces n/d es un número entero que llamamos c y de esta manera n se escribe como n=d*c (d podría ser igual a c)

Como c y d son menores que n y n es el número más chico que no se puede escribir como producto de primos entonces c y d se pueden escribir como producto de primos, o sea

c=p₁*p₂*...*p_a-1*p_a
d=q₁*q₂...*q_b-1*q_b

Donde p_? y q_? son todos primos.

Entonces n=c*d=p₁*p₂*...*p_a-1*p_a*q₁*q₂...*q_b-1*q_b. O sea que logramos escribir a n como producto de primos, lo que no es posible ya que n es el número más chico que no se puede escribir como producto de primos. Aquí llegamos a un absurdo.

Nota para alumnos avanzados: En realidad probamos la factorización en irreducibles, por otro lado habría que probar que en los enteros, todos los irreducibles son primos. (Si no entendiste nada no importa.)

Lecciones anteriores:

Los números primos

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