Reglamento de la Primera Ronda

1. Todos los aspectos de este Reglamento deben considerarse compatibles con el Reglamento General de la Olimpíada Matemática Argentina. Los no considerados por este reglamento o las contradicciones que presenten con el reglamento general de la Olimpíada Matemática Argentina deberán ser resueltos por el Consejo Superior de la Olimpíada Matemática Argentina.

2. El Torneo de Computación y Matemática es un concurso de Resolución de Problemas de Matemática con ayuda de la computadora.

3. Esta prueba es individual y de carácter no presencial.

4. Los niveles previstos para este Torneo son:

• Primer Nivel: 7 y 8 años de escolaridad (7° grado y 1° año del sistema anterior).
• Segundo Nivel: 9 y 10 años de escolaridad (2° y 3° años del sistema anterior).
• Tercer Nivel:años de escolaridad en adelante (de 4° año en adelante). 11

5. La fecha límite para enviar las soluciones es el día martes 05 / 09 / 2000. Deben ser enviadas por correo o correo electrónico (e-mail) a:

• Personalmente o por carta,
  Computación y Matemática
  Fundación Olimpíada Matemática Argentina
  Santa Fe 3312, 9º piso "D"
  C1425BGV - Capital Federal

• Por correo electrónico: cym@oma.org.ar

Se sugiere realizar una copia de todo material enviado (en papel y los programas), y conservarla hasta la ronda siguiente.

6. Los únicos lenguajes de programación aceptados dentro de la competencia son: C/C++, Pascal y QuickBasic/QB.

7. Se deben enviar en papel las demostraciones, razonamientos y cálculos realizados, agregando además la respuesta de cada problema y en un disquete los programas fuente (.bas, .pas, .c, .cpp, etc. ) que usaron para ayudarse a resolver los problemas. También deben enviar la ficha de datos personales completa. (La información en papel se puede enviar también como documentos de texto.)

8. La interpretación de los enunciados corre por cuenta de los participantes. No se responderán preguntas.

9. Los resultados de esta prueba se enviarán a las Secretarías Regionales y algunas Delegaciones Zonales el 13 / 10 / 2000.

10. La decisión del jurado es inapelable.

Nota: La dirección de e-mail se utilizará sólo para tratar de comunicar los resultados de las pruebas junto con comentarios a los participantes e información urgente sobre las pruebas (a lo sumo unos 5 mensajes en total). También trataremos de hacer llegar parte de esta información por papel, aunque seguramente llegará más tarde. De todas maneras cada participante es responsable de conseguir los resultados de cada certamen y la información necesaria para seguir participando.

Para conseguir más información sobre el Torneo, pueden contactarnos en las direcciones que figuran arriba o en

• tel/fax: (011) - 4826 - 6900
• En Internet: http://www.oma.org.ar

3^er Torneo de Computación y Matemática

Primera Ronda (No Presencial)

29 de agosto al 5 de septiembre de 2000

Apellidos :

Nombres :

Domicilio :

Localidad :

Provincia :

Correo electrónico (e-mail) :

Nombre de la escuela :

3^er Torneo de Computación y Matemática

Primera Ronda - 29 de agosto al 5 de septiembre de 2000

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

Leer atentamente el reglamento de esta prueba.

Justificar todas las respuestas.

Problema 1:

Encontrar cuatro números enteros positivos a, b, c, d tales que (a³+b³)/(c³+d³)=1/2000 .

(Nota: cero no es un número entero positivo.)

Problema 2:

Una acaudalada anciana tiene gran cantidad de lingotes de oro de tres tipos: por valor de $56, de $106, y de $127. ¿Cuál es la menor cantidad de lingotes que puede usar para depositar exactamente $5409 en una caja de seguridad de un banco?

Problema 3:

¿Cuántos divisores primos distintos tiene 1279224 ?

(Nota: Un número es primo si solamente se puede dividir por el número uno y por sí mismo. Por ejemplo 2 ,3 ,5 ,7, 11, 13, 17, 19, ... )

3^er Torneo de Computación y Matemática

Primera Ronda - 29 de agosto al 5 de septiembre de 2000

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

Leer atentamente el reglamento de esta prueba.

Justificar todas las respuestas.

Problema 1:

Encontrar todos los números de tres cifras n tales que el número que se obtiene al dar vuelta las cifras de n² es un múltiplo de n.

(Nota: Al dar vuelta las cifras de 1453 se obtiene 3541 .)

Problema 2:

¿Cuál o cuáles son los números enteros positivos entre 1 y 10000 que se pueden expresar de más maneras distintas como suma de dos primos?

Por ejemplo 26 se puede escribir de 5 maneras distintas porque 26 = 3+23 = 7+19 = 13+13 = 19+7 = 23+3 .

(Nota: 0 y 1 no son primos)

Problema 3:

¿Cuántos pares de números enteros (a, b) existen tales que 0<a<b<1000 y además a + (a+1) + ... + (b-1) + b es múltiplo de 30?

3^er Torneo de Computación y Matemática

Primera Ronda - 29 de agosto al 5 de septiembre de 2000

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

Leer atentamente el reglamento de esta prueba.

Justificar todas las respuestas.

Problema 1:

Un número n es entretenido si cumple simultáneamente con las siguientes dos condiciones:

i) De los dígitos de n, el mas grande aparece exactamente una vez.

ii) Si a n se le quita su dígito más grande queda un número primo.

Hallar la cantidad de números entretenidos menores que 1000000.

(Nota: 0 y 1 no son primos)

Problema 2:

Para cada número entero A se define la siguiente sucesión:

s(1) = A

s(2) = 2000

si n>=1, s(n+2) es el resto de hacer (s(n))² dividido s(n+1).

La sucesión termina al obtener un resto 0.

a) Probar que, para cualquier A, la sucesión siempre termina.

b) La longitud de la sucesión es la posición del termino 0. Por ejemplo, si A = 9, las sucesión es 9, 2000, 81, 58, 7, 4, 1, 0 y su longitud es 8. ¿Cuál es la longitud máxima posible? Justificar.

Problema 3:

Se tiene una circunferencia de radio 1 y un punto P exterior. Se determinan dos puntos distintos A y B sobre la circunferencia de manera que las rectas PA y PB sean tangentes a la circunferencia. Determinar la distancia entre P y el centro de la circunferencia si la suma de las longitudes de los segmentos PA y PB es igual a la longitud del arco de circunferencia AB más alejado de P. Aproximar el resultado con por lo menos 3 decimales.