4^ta Competencia de Clubes Cabri

Segunda ronda

1^er nivel

1. Dado un triángulo isósceles ABC con AB = BC y <ABC = 60°. Sea D en AB tal que <DCA = 30°. Sea E en BC tal que <EAC = 40°. Sea P la intersección entre DC y AE. Hallar la medida de <BPE.

2. Dado un triángulo ABC se trazan circunferencias C₁ y C₂ que pasan por B y por C e intersecan a los lados AB y AC en B’, C’ (C₁) y B’’, C’’ (C₂). Demostrar que B’C’ y B’’C’’ son paralelos.

3. Dado un triángulo ABC

1. Construir un paralelogramo DEFG con E en AB, D en AC y FG incluido en BC de manera que BC / FG = 3.
2. Hallar el lugar geométrico de los centros de los paralelogramos DEFG, del ítem anterior.

4. Dado un triángulo acutángulo ABC, sea I su incentro. Sea D el pie de la perpendicular desde I a BC, E el pie de la perpendicular desde I a AC y F el pie de la perpendicular desde I a AB. Se trazan las circunferencias de diametros DI,EI y FI.

1. Demostrar que dichas circunferencias se intersecan dos a dos en puntos (distintos de I) pertenecientes a las bisectrices de ABC.
2. Demostrar que el triángulo formado por dichas intersecciones es semejante al triángulo DEF y hallar la razón de semejanza.

2^do Nivel

5. Dado un triángulo ABC, construir un punto P en su interior tal que los ángulos PAY₁, PBY₂ y PCY₃ miden lo mismo, donde Y₁, Y₂, Y₃ son A, B o C.

6. Dada una circunferencia C y un punto D fijo en ella sea E y F en C tales que EF =  2 DE. Sea P el punto medio de FD. Hallar el lugar geométrico de P al variar E en C.

7. Dado un paralelogramo ABCD. Sea A’ el simétrico de A con respecto a DC, sea B’ el simétrico de B con respecto a AD, sea C’ el simétrico de C con respecto a BA y sea D’ el simétrico de D con respecto a CB. Probar que A’B’C’D’ es un paralelogramo.

8. Dado un pentágono convexo ABCDE, construir un pentágono convexo cuyos lados midan lo mismo que AC, BD, CE, DA y EB.

[ 4ta Competencia  - Ronda final ]

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