4^ta Competencia de Clubes Cabri

Ronda final

1^er nivel

1. Dada una circunferencia C, un punto M_b en su interior, construir todos los triángulos ABC inscriptos en C tales que M_b sea el punto medio de AC y AB = AC.

2. Dado el triángulo isósceles ABC, AB = BC, sean D en AB y E en BC tales que AD = BE. Hallar el lugar geométrico de M, el punto medio de DE.

3. Dada una circunferencia C y un punto A en su interior. Construir el rectángulo ABCD, con BC en C, de área máxima.

4. Con las medianas de un triángulo T se forma otro triángulo T’ (probar que siempre es posible formar tal triángulo) y con las medianas de T’ se forma el T’’. Probar que T’’ es semejante a T.

2^do Nivel

5. Dada una circunferencia C, un punto A en su interior y uno B sobre C, encontrar C y D en C tal que ABCD sea un paralelogramo.

6. Dado un paralelogramo ABCD, sea A’ en AB tal que BA’ = 3AA’, sea B’ en BC tal que CB’ = 3BB’, sea C’ en CD tal que DC’ = 3CC’, sea D’ en DA tal que AD’ = 3DD’. Sea A’’ en D’A’ tal que D’A’’=3A’A’’, sea B’’ en A’B’ tal que A’B’’ = 3B’B’’, sea C’’ en B’C’ tal que B’C’’ = 3C’C’’, sea D’’ en C’D’ tal que C’D’’ = 3D’D’’. Probar que A’’B’’C’’D’’ es semejante a ABCD y que son paralelos. Averiguar la razón de semejanza.

7. En un triángulo se trazan los segmentos que unen cada vértice con el incentro. Las tres mediatrices de dichos segmentos determinan un triángulo. Probar que está inscripto en la circunferencia circunscripta al triángulo original.

8. Dada una circunferencia C y un punto P en su interior construir los triángulos APB con A y B en C y <APB de 90 grados.

1. Hallar el lugar geométrico de M el punto medio de AB.
2. Hallar el lugar geométrico de H, el pie de la altura desde P.

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