OMA - IX Olimpíada Matemática Rioplatense

La computadora de la nave Stela solamente procesa dos instrucciones:
Instrucción Y: reaprovisione y siga por la ruta 1 o por la ruta 3
Instrucción Z: reaprovisione y siga por la ruta 2 o por la ruta 4
a) Determine el destino final de la Stela si parte de Asus y ejecuta las siguientes instrucciones en el orden en que aparecen: YZZYYZYYZ.
b) Determine todas las sucesiones de instrucciones con punto de partida en Asus y destino final en Dufos. Justifique.

2. Sea ABC un triángulo equilátero. Indique cómo construir un punto F interior al triángulo que tenga las dos propiedades siguientes:
Área del triángulo ABF =

Área del triángulo ABC
Área del triángulo ACF =

Área del triángulo ABC

3. Un pintor tiene 4 baldes iguales que contienen cada uno una pintura de color diferente. Cada balde tiene 4 marcas que indican

de su volumen. Todos los baldes tienen pintura hasta la marca

. El pintor debe redistribuir la pintura de modo que todos los baldes tengan la misma mezcla homogénea de colores y estén llenos hasta la marca

. La única operación permitida es pasar pintura de un balde a otro; no hay ningún recipiente adicional. Indique una secuencia de operaciones que le permita al pintor lograr su objetivo.

Segundo Día

4. Algunas personas van a una pizzería. Cada persona que está hambrienta quiere comer 6 o 7 porciones, y las otras quieren comer 2 o 3 porciones. Cada pizza tiene 12 porciones. Se sabe que 4 pizzas no son suficientes para satisfacer a todos, pero con 5 pizzas sobrarían algunas porciones.
¿Cuántas personas fueron a la pizzería? ¿Cuántas estaban hambrientas?

5. Los cinco mejores equipos de fútbol de América participaron en un torneo, donde todos jugaron contra todos una única vez. De forma usual, en caso de victoria el equipo gana 3 puntos, en caso de empate cada equipo gana 1 punto y en caso de derrota el equipo gana 0 puntos. Al final del torneo se hizo una tabla que muestra el total de puntos obtenidos (Pts), el número de victorias (V), la cantidad de goles a favor (Gf) y la cantidad de goles recibidos (Gr) pero faltaron algunos datos.

Club	Pts	V	Gf	Gr
Fortaleza	10	3	4	0
Liverpool	8	2	7	1
Boca Juniors	5	1	2	?
América	3	1	1	4
Alianza Lima	?	?	0	6

a) Indique el total de puntos y el número de victorias del equipo Alianza Lima así como los goles recibidos por Boca Juniors. Justifique.
b)Determine el resultado de cada partido indicando el número de goles de cada equipo. Justifique.

6. En la isla Colorín todos los camaleones eran azules. Cada uno de ellos tiene exactamente un amigo o tiene exactamente 5 amigos. Un día, cada camaleón con exactamente un amigo se volvió amarillo, y cada camaleón con exactamente 5 amigos se volvió verde. Resultó así que los que son amigos son de colores distintos. Más tarde, 30 camaleones amarillos se volvieron verdes y 40 verdes se volvieron amarillos. De este modo resultó que los que son amigos son del mismo color. ¿Cuántos camaleones hay en la isla Colorín?
Aclaración: Si A es amigo de B, B es amigo de A.

Primer Día

1. Un supermercado vende Rocacola y Rocajugo en botellas con tapita. Además, cambia 15 tapitas de Rocacola por una botella de Rocajugo llena, y cambia 20 tapitas de Rocajugo por una botella de Rocacola llena.
Lucas tiene 511 tapitas que va cambiando en el supermercado por botellas llenas. Después de beber el contenido se queda con la tapita, que usará luego para seguir cambiando por botellas llenas. Al final le queda solamente una tapita de Rocacola y ninguna de Rocajugo. Determine cuántas tapitas de Rocacola había entre las 511 tapitas iniciales. Dé todas las posibilidades.

2. En un tablero de 4´4 hay escritos dos números, un 2 y un 4, como en la figura.

Escriba un número positivo en cada una de las restantes 14 casillas de modo tal que el producto de los 5 números del tablero que están en configuraciones con forma de T como las de las figuras

3. Cada casilla de un tablero de 3×3 contiene un botón luminoso que puede estar apagado o prendido. Al apretar el botón del centro cambia el estado de sus ocho vecinos pero no de él mismo. Al apretar cualquier otro botón cambia su estado y el de cada botón vecino. Apretar un botón se cuenta como un paso.
Dos configuraciones están conectadas si se puede pasar de una a otra en un número finito de pasos.
Se define distancia entre dos configuraciones conectadas como el mínimo número de pasos que son necesarios para pasar de una a la otra.
Determine la máxima distancia que puede haber entre dos configuraciones conectadas.

Segundo Día

4. En una escuela militar hay 200 alumnos. El director decidió que cada día un grupo de 9 alumnos debe patrullar la escuela y preparó la lista con las patrullas para todo el año respetando la siguiente regla: si un alumno está en la patrulla cierto día, entonces no puede estar en la patrulla los siguientes 10 días.
El subdirector opina que cada patrulla debe tener 10 alumnos.
Decida si el subdirector puede agregar un alumno a cada patrulla respetando la lista del director y la regla de los 10 días de descanso para cada alumno.

5. Sea ABC un triángulo inscripto en una circunferencia. Sea M el punto medio del arco AB que no contiene a C y N el punto medio del arco AC que no contiene a B.
Sean E y F los puntos donde la recta MN corta a los lados AB y AC respectivamente.
Demuestre que si ME = EF = FN , entonces el triángulo ABC es equilátero.

6. Hay 83 rectángulos de lados enteros. Ninguno de ellos es un cuadrado y ninguno tiene área 8. Con esos rectángulos se puede formar 23 cuadrados de 4 x 4, sin huecos ni superposiciones, y sin que sobren piezas. Decida si con los 83 rectángulos se puede formar 4 rectángulos iguales, sin huecos ni superposiciones, y sin que sobren piezas.

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