Olimpíada
Matemática Argentina 1996
Certamen Zonal
Primer nivel
1.
¿Cuántos números
naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de
36?
2.
En el romboide ABCD las
diagonales se cortan en el punto F (los lados iguales son
AB = BC y CD = DA). Sobre la prolongación del
lado BC se marca un punto E de modo que CF = CE y el
cuadrilátero FCED es romboide. ¿Si ABC = 122 grados,
cuanto mide el ángulo ADE?
3.
Colocar en cada casilla
vacía un dígito distinto de cero de modo tal que a
partir de la segunda fila, el número de cada casilla sea
igual a la resta de los dos números ubicados en las
casillas vecinas de la fila anterior.
Segundo nivel
1.
Empezando con 46, se
forma una secuencia de dígitos colocando, en cada paso,
a continuación del ultimo número escrito, el producto
de los dos últimos dígitos que se escribieron (los
primeros 5 dígitos son: 46248...).
Calcular el dígito que esta en la posición
1996.
2.
Sea t una recta y P un
punto exterior. Sobre la recta se marcan de izquierda a
derecha los puntos A, B, C, D, E de modo que PA=PB,
PB=BC, PC=CD y PD=DE. Se traza por P la paralela a t y se
marca en esta paralela el punto Q tal que PQED es un
paralelogramo.
Si los ángulos QED y APB son iguales, ¿cuánto
mide el ángulo PAB?
3.
El druida Panoramix desea
preparar 24 cucharones de una pócima mágica que
contenga las sustancias A, B, C por partes iguales.
Dispone de un recipiente donde hay A y C mezclados por
partes iguales; otro en el que hay A y B mezclados en la
proporción 2:3 y un tercero en el que hay B y C
mezclados en la proporción 1:2. ¿Cuántos cucharones de
cada recipiente debe mezclar para obtener la pócima
deseada?
NOTA: las cantidades X e Y están en proporción
2:3 si X/Y=2/3.
Tercer nivel
1.
Colocar números
naturales distintos y mayores que 1 en las casillas de
manera que siempre el número de una casilla sea
múltiplo del que esta en la casilla anterior y que la
suma de los cinco números sea 517.
2.
Una hormiga parte del
hormiguero y recorre en línea recta un tramo de d cm,
luego gira 90
o
y
recorre en línea recta otro tramo de d/2 cm, luego
vuelve a girar 90
o
y
recorre un tramo de d/(2
2
)
cm, y así sucesivamente. El sentido en que gira lo
decide en cada vértice.
¿Cuál es la menor distancia al hormiguero a la
que puede estar la hormiga después de haber recorrido
100 tramos?
3.
Encontrar TODAS las
ternas de números reales (x,y,z) que verifican
simultáneamente:
x
2
+ y + z = 1
x + y
2
+ z = 1
x + y + z
2
= 1
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