XII
Olimpíada Matemática Argentina. 1995Certamen Zonal
Primer
nivel1. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se forman tres números A, B, C, de tres dígitos distintos cada uno, usándose los nueve dígitos. ¿Se puede lograr que ninguno sea múltiplo de 3?
2. Sea ABC un triángulo con <B=35o, <C=28o. Se traza por A una paralela r al lado BC. La mediatriz de AC corta a r en D y la mediatriz de AB corta a r en E. Queda formado el cuadrilátero BCDE. Hallar sus ángulos interiores.
3. El árbol genealógico de una familia se
inicia en el matrimonio de Eduardo y Cecilia que tiene
tres hijos: Orlando, Luis y Manuel. De estos tres hijos,
Orlando y Luis se casan y Manuel queda soltero. Para cada
uno de los siguientes matrimonios se repite la misma
situación (ellos tienen tres hijos de los cuales dos se
casan y uno queda soltero).
Determinar el número de personas incluidas en el árbol
genealógico hasta la décima generación (incluir todos
los esposos/as).
ACLARACION: Orlando, Luis y Manuel son de la
primera generación.
Segundo
nivel1. Hallar todos los números de 3 dígitos tales que al elevarlos al cuadrado tienen las tres últimas cifras iguales y en el mismo orden que el número original.
2. El triángulo ABC tiene <A=27o y <C=90o grados. Sea m la mediana trazada desde C y sea P el punto en la prolongación del lado AB tal que CP es perpendicular a m. La bisectriz del ángulo APC interseca a BC en R y a AC en S. Hallar las medidas de los ángulos CRS y CSR.
3. Se tiene una circunferencia de longitud 210. Se han marcado en la misma 20 puntos, P1,P2,P3,... ,P20, siguiendo el sentido de giro igual al reloj, de modo que el arco que une el punto P1 con el P2 mide 1; el arco que une el punto P2 con el P3 mide 2; el arco que une el punto P3 con el P4 mide 3; ... ; y así sucesivamente el arco que une el punto P20 con el P1 mide 20. Hallar todos los pares de puntos marcados tales que el segmento que los une es diámetro de la circunferencia.
Tercer
nivel1. Hallar el resto de dividir 11... 1995 veces ... 11 por 1001.
2. Ubicar en cada casillero vacío de la tabla un número natural, de modo que en cada fila y en cada columna se forme una progresión aritmética.
ACLARACION: La razón de una progresión aritmética puede ser positiva o negativa. Por ejemplo: 15, 17, 19, 21, ... tiene razón positiva y 57, 54, 51, 48 tiene razón negativa.
3. En el triángulo ABC, las medianas trazadas desde B y desde C son perpendiculares entre sí. Si AC mide 15 y AB mide 10, calcular cuanto mide BC.
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