2º Torneo de Computación y Matemática

Segunda Ronda

8 de octubre de 1999

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Escribir a 1238544 como producto de números enteros de dos cifras.
(Ejemplo: 4488 = 11 × 12 × 34 ; 100 = 10 × 10)

2

Encontrar un par de números enteros (x; y) que verifiquen la siguiente igualdad:
x³ – 1999 y³ = 172 .

3

Una década se dice "mágica" si en ella ocurrieron exactamente 4 años primos; por ejemplo, la segunda década DC fue mágica, ya que los años 11, 13, 17 y 19 fueron primos. Contar cuántas décadas mágicas hubieron en estos últimos 2000 años.
(Nota: 0 y 1 no son primos.)

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

¿Cuántos pares ordenados (x, y) de enteros positivos, con x e y menores o iguales que 19990 hay tales que x+y es primo?

2

De todos los números enteros positivos se tachan los que tienen todos sus dígitos distintos. Encontrar cuál ocupa en esta nueva lista el 1000000 lugar.
(Ejemplos: 11 ocupa el primer lugar, 22 el segundo, 100 el décimo, etc. )

3

En un viejo cuaderno de primaria, se encontró el siguiente problema:
"Si ?313 obreros construyen ?245 casas en un mes, ¿cuántas casas construyen ?201 obreros en ese mismo tiempo?"
Como se observa, el primer dígito de cada número no lo pudimos entender, por la mala letra del alumno. Pero sin embargo en las hojas siguientes el niño lograba resolverlo y obtenía como resultado un número entero de 4 cifras.
Reconstruir el problema y resolverlo.
(Nota: los dígitos que faltan no son necesariamente todos iguales; o sea que pueden ser todos iguales, pueden ser dos de ellos iguales y el otro distinto, o pueden ser todos distintos)

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

1

Contar cuántos enteros positivos hay, menores o iguales que 1000000, cuyas escrituras decimales sean la concatenación de las expresiones decimales de dos potencias de 2.
(Ejemplo: 164, 32512, 11, …)

2

Decir cuáles son todos los números enteros n tales que 2ⁿ 1999 n² .

3

Un país lejano estaba dividido en 4 provincias. Se decidió fundar una ciudad de manera que para construir los caminos (rectilíneos) que la unieran con las 4 capitales se gastara la menor cantidad de asfalto posible. El ingeniero en jefe del proyecto determinó en su mapa que las 4 ciudades capitales se encuentran en las coordenadas (1.0; 1.0), (14.0; 1.0), (1.0; 10.0) y (12.5; 8.0). ¿En qué coordenadas se debe construir la nueva ciudad para que la suma de las distancias a las cuatro capitales sea mínima?
(Aproximar el resultado con 3 decimales.)

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