2^do Torneo de Computación y Matemática

Primera Ronda - 25 de agosto al 1 de septiembre de 1999

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

¿Cuántos números enteros positivos menores que 1020 tienen como únicos factores primos al 2; 3 ó 7? (Por ejemplo: 2; 8; 21; 63; 84; ... )
(Nota: los números enteros positivos son 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...)

2

En una isla perdida hay 5 monos aulladores peludos y es la principal atracción turística. Por ello en los hoteles en vez de cobrar por día, cobran una barra de oro cada vez que se oye un aullido. Los monos aúllan cada 12; 14; 18; 20 y 33 días respectivamente. Un insectólogo quiere visitar la isla durante la mayor cantidad de días posibles, pero consiguió sólo 8 barras de oro. Además quiere viajar lo antes posible, pero todos los hoteles están llenos hasta el "día 0" en que todos los monos aullarán simultáneamente. ¿Entre que fechas debería ir?
(Todos los monos siempre aúllan exactamente a las 10 de la mañana. Si dos o más monos aúllan simultáneamente, se cobra como un solo aullido. Los vuelos llegan y salen de la isla por la tarde.)

3

¿Cuántos triángulos rectángulos de lados enteros tienen perímetro menor o igual que 1000?

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Encontrar un número T tal que sea máxima la cantidad de ternas (a, b, c) de enteros entre 0 y 100 (ambos extremos inclusive) en las que a+b+c=T .

2

¿Cuántos pares de números enteros positivos (x, y) se pueden encontrar tales que x e y son menores que 10000 y los números x²+y² y x²-y² son primos?
(Nota: 0 y 1 no son primos)

3

¿De cuántas maneras se pueden colocar 14 unos en un tablero de 7x7 de manera que en cada fila y en cada columna haya exactamente dos unos?

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

1

Encontrar todas las cuaternas (a, b, c, d) de enteros positivos tales que a b c d que verifican que 1/a+1/b+1/c+1/d=1 .

2

¿Cuántos números N enteros positivos hay tales que la diferencia entre N y el número obtenido al dar vuelta las cifras de N es igual a 61839?
(Nota: el número obtenido al dar vuelta las cifras de 18436 es 63481)

3

Calcular la cantidad de cifras de 1! + 2! + 3! + ... + 1997! + 1998! + 1999! .
(Nota: n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n - 2) * (n - 1) * n , por ejemplo 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 )

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