Primer Torneo de Computación y Matemática
Ronda Final

Diciembre de 1998

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Encontrar 4 números enteros, todos mayores que 1, tal que se cumple que el mínimo común múltiplo entre todos ellos es 486529981 veces el máximo común divisor entre todos ellos.

2

Contar cuántas ternas (x,y,z) de números enteros positivos verifican que la suma de sus cuadrados da 1998².
Aclaración: La terna (264,552,1902) no es igual a la terna (264,1902,552).

3

Contar cuántos múltiplos enteros positivos hay del número 3333 con la propiedad de que ninguno de sus dígitos se repite, y ningún dígito es igual a cero.

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Calcular la probabilidad de sumar 35 tirando 10 dados.

Aclaración: La probabilidad es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles. Por ejemplo, la probabilidad de que salga 3 tirando un dado es 1/6.

2

Se toma un número entero positivo N. Se suman sus dígitos. Se vuelven a sumar los dígitos de este resultado. Este procedimiento se aplica sucesivamente hasta obtener un número de un solo dígito, que se llama la suma estacionaria de los dígitos de N (ej. 1998 27 9).
Análogamente, multiplicando los dígitos de N, multiplicando los dígitos del resultado de esta operación y aplicando sucesivamente este procedimiento hasta llegar a un número de un solo dígito, se obtiene el producto estacionario de los dígitos de N (ej. 1998 648 192 18 8).
Contar cuántos números enteros positivos hay, menores o iguales que 1998², que tienen la misma suma y producto estacionarios.

3

Distribuir 21 números enteros distintos entre 0 y 25 (ambos inclusive) en las circunferencias de la siguiente figura de tal manera que la suma de los vértices de cada triángulo sombreado sea siempre la misma.

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

1

Contar de cuántas maneras distintas puede cubrirse un tablero de 3x28 usando fichas de dominó (2x1).
Aclaración: El tablero se considera fijo, es decir, rotaciones y simetrías se consideran distintas formas.

2

Una hormiguita viaja sobre un rayo de la rueda trasera de la bicicleta de Martín, caminando desde el borde hacia el centro con velocidad constante. Estimar la longitud de la trayectoria que describe la hormiguita desde que se sube a la rueda hasta que llega al centro, sabiendo que lo hace en el mismo tiempo en que la rueda da una vuelta y que la rueda tiene radio 1. Se pide la respuesta con una precisión de por lo menos 2 dígitos.

3

1. Contar cuántas potencias de 5 hay tales que la suma de sus dígitos es menor que 20.
2. Contar cuántas potencias de 5 hay tales que la suma de sus dígitos es menor que 45.

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