Primer Torneo de Computación y Matemática
2da Ronda

16 de Octubre de 1998

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Encontrar todos los pares (x , y) de enteros positivos que verifican x² + 3xy + y³ = 947139.

2

¿Cuántos de los primos menores que 10000 se pueden expresar como suma de dos primos? (nota: 0 y 1 no son primos)

3

¿Cuántos números capicúas de 8 cifras son cuadrados perfectos? (por ejemplo 289=17² es un cuadrado perfecto)

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

¿Cuál es la primera potencia de 2 que tiene tres ceros consecutivos en su escritura decimal?
(Por ejemplo 2²⁴=16777216 tiene tres sietes consecutivos)

2

Se dice que un primo impar p es un casi-divisor de n si al dividir n por p se obtiene resto (p-1)/2 (2 no es casi-divisor de nadie). ¿Cuántos números menores a 10000 hay que tienen exactamente dos casi-divisores primos distintos?

3

La sucesión de Fibonacci se define de la siguiente manera:

• f (0)=0
• f (1)=1
• si n2 entonces f (n) = f (n-1) + f (n-2)

(o sea f (2)=1 ; f (3)=2 ; f (4)=3 ; f (5)=5 ; f (6)=8;... )

Calcular a primera y la última cifra de f (1998).
(Nota: La primera cifra de 3482 es 3 y la ultima es 2)

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

1

Calcular cuántos números enteros de 10 cifras hay tales que cada una de sus cifras es 1, 2 o 3 y no hay cuatro cifras consecutivas iguales.
Por ejemplo: 12312311, 1112223331, 1212121212, 3212233311, etc.

2

¿Es primo el número formado al escribir en forma consecutiva todos los primos menores que 10000 (o sea 23571113... )? Justificar.

3

Se tiene un ABCD rectángulo inscripto en un circulo de radio 1. ¿Cuáles deben ser los lados del rectángulo para que la longitud del lado AB, sea igual a la longitud del arco BC.

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