PreTorneo de Computación y Matemática

Bariloche, 1997

Primer nivel

1

Contar todos los números enteros positivos menores o iguales que 100.000 tal que la suma de sus dígitos es exactamente 18.

2

Consideramos todas las fracciones que se pueden escribir como suma de elementos del conjunto

,

donde cada uno de sus elementos se puede usar a lo sumo una vez (por ejemplo,

).

Una fracción se dice afortunada si se puede representar de dos maneras distintas como suma de elementos de A (por ejemplo,

).

Listar todas las fracciones afortunadas.

3

Calcular el dígito más significativo (o sea, el que se encuentra más hacia la izquierda) de 500!

Nota: 500! = 1 . 2 . 3 . ... . 499 . 500.

Segundo nivel

1

Exhibir dos números enteros A y B de tal manera que se cumplan simultáneamente las dos condiciones siguientes:

1. El número que resulta de poner A al lado de B, tiene exactamente 10 dígitos y éstos son todos distintos;
2. .

2

En el siguiente tablero, hay que calcular cuántas maneras distintas hay de llegar desde A hasta B sin retroceder, moviéndose por los segmentos del tablero, pero nunca pasando por los círculos.

3

Escribimos el desarrollo decimal de las fracciones  ¿Cuál de ellas tiene el período más largo?

Tercer nivel

1

Calcular cuántos números enteros positivos menores o iguales que 100.000 hay tales que tienen exactamente 18 divisores.

2

¿Cuál es el mayor entero positivo que no puede escribirse como 55x + 34y, con x, y enteros no negativos?

3

Se dibuja una recta R y un punto P a distancia 1 de ella. Se quiere calcular el radio de un círculo con centro en P de tal manera que la recta divida al círculo en dos regiones cuyas áreas estén en relación 1:2. Encontrar una aproximación del radio del orden de 2 decimales.

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