4^to Torneo de Computación y Matemática
Segunda Ronda

2 de noviembre de 2001

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Encontrar dos números enteros positivos X; Y tales que X*X - 3*X*Y + Y*Y = 12676 .

2

Se quiere guardar un montón de adornos en cajas de dos tamaños, de manera que cada caja esté completamente llena. En las cajas chicas entran 207 adornos y en las grandes entran 255 adornos.

Una posibilidad para guardarlos es utilizar 103 cajas chicas y 78 cajas grandes. ¿Cuáles son todas las otras posibilidades?

3

Encontrar dos números enteros positivos que sean divisores de 21607 y tales que al sumarlos se obtenga 738.

Por ejemplo, 60 tiene 12 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

¿Cuántos números enteros positivos de cuatro cifras son divisibles por la suma de sus cifras?

2

Decidir si es posible elegir nueve números enteros positivos de una cifra (o sea, que todos sean mayores que 0 y menores que 10) de manera que verifiquen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

• el resultado de sumar estos nueve números es 45
• el resultado de multiplicar estos nueve números es 362880
• los nueve números no son todos distintos

3

Encontrar todos los números enteros positivos de 3 cifras, que no tengan ninguna cifra igual a cero, tales que todas las permutaciones de sus cifras seas números primos.Por ejemplo al permutar las cifras de 237 se obtiene: 237, 273, 327, 372, 723, 732. Pero lamentablemente ninguno de estos números es primo.

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

1

Don Zoilo tiene un campo de 10000 hectáreas. Piensa cultivar ciruelas, manzanas y damascos, pero en cada hectárea sólo puede haber un cultivo. Por cada hectárea gana $20 si es de ciruelas, $10 si es de manzanas, y $15 si es de damascos. Además, por razones ecológicas, por cada 2 hectáreas de ciruelas no puede haber más de 3 hectáreas de manzanas; por cada 3 hectáreas de manzanas no más de 4 de damascos y por cada 4 de damascos no más de 5 de ciruelas. (Por ejemplo, si planta 7 ha de ciruelas no puede plantar más de 10,5 ha (10 ha) de manzanas.)

¿Qué tiene que plantar Don Zoilo para maximizar su ganancia?

2

Encontrar todos los números enteros positivos de dos cifras ab y cd tales que su producto esté formado por las mismas cifras a; b; c; d reordenadas en cualquier orden.

3

Sean a; b; c; d; e las cinco soluciones de

x ⁵ - 3 x ⁴ - 6 x ³ + 20 x ² - 4 x - 5 = 0

¿Cuánto vale a ⁷ + b ⁷ + c ⁷ + d ⁷ + e ⁷ ? Calcularlo con un error menor que 0,0001.

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