3^er Torneo de Computación y Matemática
Ronda FInal

17 al 19 de diciembre de 2000 - Pilar provincia de Buenos Aires

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Encontrar dos números enteros positivos mayores que uno, M y N, de manera que N(N+22) = M(M+91).

2

a)¿Cuántas duplas de números enteros (p,q) con 1<=p<=1000, 1<=q<=1000 hay tales que p es primo, q es primo y p*q+1 también es primo?
b)¿Cuántas duplas de números enteros (p,q) con 1<=p<=100000, 1<=q<=100000 hay tales que p es primo, q es primo y p*q+1 también es primo?

3

Alejandro quiere armarse una remera con todos los números enteros positivos de 3 cifras que no tengan ningún cero en su escritura decimal, que tengan la propiedad de que al elevarlo al cuadrado se obtiene un número con exactamente 3 cifras distintas de cero.
Ejemplo: 2452 = 60025. ¿Cuáles son los números que debe poner Alejandro?

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Dados tres números enteros a, b, c con 0<=a,b,c<=127, a¹0, se obtiene el polinomio de grado 2, P(x)=a*x2+b*x+c. Se lo evalúa sucesivamente en 0, 1, 2, 3, 4, ... hasta obtener un resultado que no es un número primo. Encontrar los valores de a, b, c de manera que esta tira de primos sea lo más larga posible.
Ejemplo, si a=1, b=7, c=5 se obtiene una tira de largo 3: 5, 13, 23 (y se corta porque P(4)=35).

2

Matías recibió como regalo una caja de 20 pinturitas, pero una se le rompió. Con las restantes, numeradas del 2 al 20, pintó los enteros positivos, de la siguiente forma: con la número 2 pintó todos los múltiplos de 2, con la número 3 todos los múltiplos de 3, etc.
El tramo de enteros positivos consecutivos, todos pintados, que más enteros tiene, ¿cuántos enteros tiene?

3

Dividir la lista de los primeros 100 primos positivos en dos grupos de manera que si los de un grupo suman A y los del otro suman B, entonces |A-B| sea lo más chico posible.
(Nota: No es necesario que ambos grupos tengan la misma cantidad de elementos.)

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

1

Luis juega el siguiente solitario: Inicialmente hay 10 palitos, dibujados uno al lado del otro. Una jugada válida es tachar uno o varios palitos, siempre que sean consecutivos y todavía no hayan sido tachados. El juego termina cuando ya no hay más para tachar. ¿De cuántas formas puede desarrollarse un partido de este divertido solitario?

2

Dado un rectángulo ABCD de base AB=CD=2000 y altura BC=DA=1500, hallar el ángulo (entre 0° y 90°) entre la base y una recta que pasa por A (y atraviesa el rectángulo) de manera que el producto de las distancias entre esta recta y los vértices B, C y D sea máximo. Dar el resultado en grados, con al menos 3 decimales correctos.

3

Daniel se compró una supercalculadora en la que puede escribir cualquier número entero positivo. Pero se le cayó y el único botón que funciona multiplica al número que esta en pantalla por 7 y después ordena las cifras del resultado de menor a mayor.
Por ejemplo si en pantalla esta el 2658 al apretar esta tecla aparece el 1668.
Demostrar que hay infinitos valores que pueden escribirse de manera que si se presiona la tecla algunas veces se obtiene como resultado el número inicial.

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