3^er Torneo de Computación y Matemática
Segunda Ronda

27 de octubre de 2000

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Encontrar un número entero positivo X de manera que al calcular 1 + X + X*X + X*X*X + X*X*X*X + X*X*X*X*X se obtenga un número terminado en 608.
(Por ejemplo 18992608 termina en 608.)

2

En un negocio venden distintos tipos de ladrillos. Todos cumplen que sus lados son números enteros y además tienen la propiedad de que la suma de las superficies de sus seis caras es 1678. ¿Cuántos tipos de ladrillos venden?

3

Un grupo de 1000 amigos se juntan en Palermo, cada uno con una remera que tiene un número distinto del 1 al 1000. En uno de los juegos que realizan cada uno anota en un papel todos los divisores del número que tiene en su remera y los suma. ¿Cuál es el que obtuvo más puntos en este juego?
Por ejemplo el que tenia la camisa con el número 60 obtuvo 1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60 = 168 puntos.

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Un número entero positivo es apentoso si es imposible escribirlo como el producto de cinco números enteros positivos mayores que 1. ¿Cuántos números enteros positivos entre 1 y 1000000 (ambos extremos incluidos) son apentosos?

2

¿Cuántos números hay de ocho dígitos que no contengan al cero en su expresión decimal ni tampoco dos dígitos pares consecutivos?
(Por ejemplo: 83996745, 78989143, 19359991, ...)

3

Encontrar un número entero positivo N tal que las ultimas cuatro cifras de N7 sean 1119.
(Las ultimas cuatro cifras de 2320772 son 0772.)
(Nota: 0 y 1 no son primos)

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

1

Se dice que un número es tartamudo cuando cada cifra aparece al menos dos veces seguidas. Por ejemplo, son tartamudos: 11222233, 33300.
Encontrar cuántos números tartamudos hay menores que 100000000 .

2

Una computadora va mostrando en pantalla las tres ultimas cifras de los primos en orden, o sea 002, 003, 005, 007, 011, 013, 017, 019, ... , 991, 997, 009, 013, 019, ... . Entre los número que alguna vez aparecen en la pantalla, ¿cuál es el que tarda más en aparecer?

3

Se tiene un tablero de 4x4 en el que se anota un dígito en cada casilla. En cada fila y en cada columna se forma un número de cuatro dígitos. Un tablero de este tipo es legal si los ocho números que se forman así son múltiplos de 17. ¿Cuántos tableros legales distintos hay?

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