R A M A   A M A R I L L A     X X X I V 





             CONTINUACION DEL EJEMPLO DE MAXIMOS Y MINIMOS





DESIGUALDADES ARITMETICAS

        La media geometrica de dos numeros positivos es siempre menor o igual

que su media aritmetica.

                       __      a+b

                      Vab  =< -----

                                 2

Vale la igualdad unicamente en el caso  a=b.

        Para demostrarlo, basta tener en cuenta que el cuadrado de un numero

real cualquiera no puede ser nunca negativo:

                  _   _                             __

                (Va -Vb)² >= 0, entonces  a + b - 2Vab >= 0.



                    a+b

Tambien     ab =< (-----)²    (*)

                     2



        Vamos a generalizar esta desigualdad al caso de 3 variables: dados 3

numeros reales positivos cualesquiera x, y, z, vale siempre:

                        3_____      x+y+z

                       V  xyz  =<  -------

                                       3

y vale la igualdad unicamente en el caso x=y=z.



        Observemos con cuidado:

3 _____           1/3          4/3 1/4

V  xyz  =   (xyz)   = (   (xyz)   )



Como 4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3    sigue:

       1+1/3 1/4               1/3  1/4                1/3 1/4

( (xyz)     )   = ( (xyz) (xyz)   )     = ( (xy).z (xyz)   )   y

aplicando la desigualdad  (*) resulta:                         

                                                              1/3

3 _____                1/3  1/4       x+y  2         z + (xyz)    2 1/4

V  xyz  = ((xy) . z(xyz)   )   =< ( (-----)  .  ( (------------) ) )   =

                                       2                2

                        1/3

       x+y     z + (xyz)      1/2

= (  (-----) (-------------) )        y aplicando nuevamente (*) resulta

        2          2



                      1/3                         1/3

     x+y     z + (xyz)      1/2       x+y+z+ (xyz)

(  (-----) (-------------) )     =<  ----------------

      2          2                           4





En resumen obtenemos

                  1/3

     1/3     (xyz)        x+y+z

(xyz)   -   -------   =< -------

               4            4



           3       1/3     x+y+z

Esto es,  --- (xyz)    =< -------

           4                 4



                    1/3     x+y+z

y finalmente   (xyz)    =< -------  que es la que queriamos demostrar. 

                              3



Tengamos presente que la igualdad vale solo en el caso x=y=z.



        Volviendo al problema de los envases, tendremos

                            2                        2

        At = 2  r h + 2  r  =  r h +  r h + 2  r



De donde, aplicando la desigualdad demostrada antes, tomando x = y =  r h,

         2

z = 2  r  se deduce                                 2       _______

                        At       r h +  r h + 2  r      3   3 4 2

                       ----- = ------------------------ >=V 2 r h

                         3               3

              2

y como V =  r  h, se tiene             3____   2/3

                                At >= 3V 2   V



                                              2

y la igualdad vale unicamente si  r h = 2  r



        Entonces para obtener el envase de area total minima, la altura debe

ser igual al doble del radio de la base. Asi:

                 2                          3  V

        V = 2  r  , de donde           r =V ---

                                               2

                                          3              3 450   3 ______

Para el caso considerado antes, V = 450 cm , resulta r =V --- =V 71,658 =

                                                            2

= 4,2 cm.

                                          2

Entonces h = 24 = 8,4 cm. y At = 332,34 cm .

        Comparar el valor h/r=2 con las alturas y radios de ejemplos anterio-

res. Observar cuales son los envases que mas se aproximan al valor de minima

area.


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