R A M A   A M A R I L L A   X X X I I I 



                    

                    UN EJEMPLO DE MAXIMOS Y MINIMOS





PROBLEMA DE LOS ENVASES CILINDRICOS:

        Para fabricar un envase cil°ndrico de volumen V, que tenga una altura

h y radio de la base r, se necesita una cantidad de material igual al area to-

tal At.

        El volumen y el area total del cilindro estan dados por

                V = „ r² h

               At = 2 „ r h  + 2 „ r²



ACTIVIDAD PARA LOS ALUMNOS: Tomar latas de distintos tamaños, medir la altura

y el radio de la base (con aproximacion a milimetros).

Confeccionar una tabla en que se consignaran las medidas tomadas, el volumen

      3                        2

(en cm ) y el area total (en cm ).



PROBLEMA: El problema del fabricante de envases es el de diseñar una lata ci-

lindrica de volumen V que tenga la minima area total V.

Observando que                                    V

                V = „ r² h     resulta      h = -----

                                                 „ r²

y sustituyendo en la expresion de At, se tiene

                      2 V

                At = -----  +   2 „ r².

                       r

        Con esta formula dado V, se puede calcular At en funcion de r y, con

ayuda de una calculadora se puede encontrar el valor de r que hace At minima.

                                  3

EJEMPLO: Supongamos que V = 450 cm .

Para r = 1, 2, ...  se tiene la tabla:

                      2

r (cm)          At (cm )

1               934,28

2               425,12

3               356,52

4               325,48

5               337,0

6               376,08



se ve que el minimo de At corresponde aproximadamente a  r = 4 cm y

                     450      450

                h = ----- = ------- = 8,96 cm.

                     „ r²    50,24



        Si se desea una mayor aproximacion hasta los milimetros, hay que

armar ahora la tabla para los valores de r: 4,1; 4,2; 4,3;... para los que se

obtiene:

r               At

4,1             325,08

4,2             325,05

4,3             325,42

4,4             326,13



obteniendo el minimo para r = 4,2 cm de donde h = 450 / „ (4,2)² = 

= 450 / 55,39 = 8,12 cm  (tomamos „ ų 3,14).

        

        Este metodo para calcular los valores de r y h para el envase cilin-

drico de volumen V y area minima At es un metodo experimental. No se hacen

calculos complicados y se parte de formulas que todos conocen.

        Sin embargo, no se hace una buena justificacion de que el valor obte-

nido empiricamente es efectivamente el minimo de la funcion area.



                                        CONTINUARA


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