XI Certamen el Número de Oro. 2003
Profesores de enseñanza media.

 

Sea ABC un triángulo equilátero de lado 1. Por una paralela al lado BC se divide al triángulo en dos figuras de igual área. Calcule la distancia entre ambas paralelas.

2  Determine el número de soluciones reales de la ecuación .

3  Un mago asegura a su interlocutor que puede conocer el día y mes de su nacimiento si él le da un sólo número. Debe multiplicar el día por 12 y el número del mes por 31 y darle el valor de la suma  de ambos productos. El interlocutor da al mago el número 574. ¿Cuál fue la respuesta de éste?

4  ¿De cuántas maneras pueden pintarse las 8 casillas del esquema de abajo si se dispone de 11 colores y bajo la condición de que si dos casillas tienen un lado en común entonces deben pintarse de distinto color?

 

5  Halle los cinco mayores números de cinco cifras y múltiplos de 11 que pueden formarse con los dígitos 2,3,4,5 y 6, pudiendo repetirse éstos.

6  Sea m un número natural con la propiedad de que todo subconjunto de m elementos del conjunto  contiene alguna progresión aritmética de 5 términos. ¿Cuál es el menor valor posible de m?

7 Consideremos en R2 un sistema ortogonal de coordenadas ( O,X,Y,Z). Sean A y B dos puntos fijos  ( diferentes del origen) situados en los ejes OX y OY respectivamente y sea C un punto variable del eje OZ. Halle el lugar geométrico que determinan los baricentros de los triángulos ABC cuando C recorre el eje OZ.

8 Encuentre un polinomio  P(x) tal que P(x)  sea  divisible por   x2 +1   y   P(x) +1  lo sea por  x3 + x2 +1.

9 Determine el volumen de un tetraedro regular sabiendo que el área de la sección del mismo determinada por un plano perpendicular a la base que pasa por una arista lateral del tetraedro es .

10   Considere la cruz de Lorena formada por 13 cuadrados  de lado 1 como  indica la  figura. Determine el  punto  Q en  el segmento  AB tal que  la recta  PQ  divida a la  cruz en dos  superficies de  igual área.

 

X Certamen el Número de Oro. 2003
Alumnos del Profesorado

 

1     En los lados del cuadrilátero ABCD se marcan los puntos E, F, G y H, cuyas distancias  a los vértices A, B, C y D son respectivamente, un tercio de los lados AB, BC, CD y DA.
Halle la relación entre las áreas de los cuadriláteros  EFGH y ABCD.

Determine los números naturales menores que 1000 que son capicúas escritos tanto en base 9 como en base 10.

3  Trazando segmentos desde el centro a cada uno de los vértices, se divide un hexágono regular en 6 triángulos. Se desea pintar cada uno de ellos de un color elegido entre blanco, negro, amarillo y  rojo, con la condición de que sectores vecinos se pinten de distinto color. ¿De cuántas maneras puede hacerse?.

4  Sean    funciones continuas tales que su composición verifica . Sf es  creciente,  demuestre que f y g tienen un punto fijo en común.

5 Sea ABC un triángulo y sea PMN un triángulo inscripto en él de modo que los puntos P,M y N pertenecen respectivamente a los lados AB, BC y CA. Inscriba en PMN un triángulo semejante a ABC.

6 ¿Para qué valores de n resultan coprimos   1+2+….+n     y     12 + 22 +…..+ n2 ?

7 Consideremos en R2 un sistema ortogonal de coordenadas ( O,X,Y,Z). Sean A y B dos puntos fijos  (diferentes del origen) situados en los ejes OX y OY respectivamente y sea C un punto variable del eje OZ. Halle el lugar geométrico que determinan los baricentros de los triángulos ABC cuando C recorre el eje OZ.

Encuentre un polinomio P(x) tal que P(x) sea divisible por x2 +1 y P(x) +1 lo sea por x3 + x2 +1.

9  Un tetraedro regular ABCD de arista b se divide en dos cuerpos de igual volumen por un plano  paralelo al plano  determinado por los vértices A. B y C. Halle la distancia entre los planos  y .

10 Considere la cruz de Lorena formada por 13 cuadrados  de lado 1 como  indica la  figura.Determine el  punto  Q en  el segmento  AB tal que  la recta  PQ  divida a la  cruz en dos superficies de  igual área.


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