El Problema de la Semana 24 de Octubre

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Primer Nivel

Con dos pirámides iguales de base cuadrada y todas las aristas (lados) iguales se forma un octaedro regular, pegando entre si las dos bases.
En cada arista del octaedro se marcan dos puntos que la dividen en tres segmentos iguales. Los 24 puntos marcados son los vértices de un nuevo poliedro, que resulta de recortar seis pequeñas pirámides iguales, una por cada vértice del octaedro.
¿Cuántas diagonales interiores tiene el nuevo poliedro?
Nota: Llamamos diagonal interior de un poliedro a todo segmento que une dos vértices y no está contenido en ninguna cara.

Segundo Nivel

Líneas Aéreas Rioplatenses conecta todas las ciudades del país de "La Plata" de manera no necesariamente directa. Se denomina capacidad de una ciudad al número de empleados de Líneas Aéreas Rioplatenses que hay en ella, y trucha a cada ciudad cuya capacidad es inferior a la parte entera del promedio de las capacidades de las ciudades con las que está conectada directamente.
Para mejorar el servicio, Líneas Aéreas Rioplatenses contrata un inspector cuyo trabajo consiste en elegir cada día una ciudad trucha y aumentar su capacidad para que sea igual a la parte entera arriba indicada.
El inspector sabe que conservará su empleo mientras queden ciudades truchas. Demostrar que algún día será despedido.

Tercer Nivel

Sea S la circunferencia de centro O y radio R, y sean A, A' dos puntos diametralmente opuestos en S. Sea P el punto medio de OA' y l una recta que pasa por P, distinta de AA' y de la perpendicular a AA'. Sean B y C los puntos de intersección de l con S y sea M el punto medio de BC.

1. Sea H el pie de la altura desde A en el triángulo ABC. Sea D el punto de intersección de la recta A'M con AH. Determinar el lugar geométrico de los puntos D al variar l.
2. La recta AM intersecta a OD en I. Probar que 2OI=ID y determinar el lugar geométrico de los puntos I al variar l.