El Problema de la Semana 19 de Septiembre

[ Otros problemas ]

Primer Nivel

Un comerciante tenía 6 piezas de tela: 5 de color azul y 1 de color amarillo.
Vendió cierta cantidad de tela azul a un cliente y el doble a otro, quedándole la tela amarilla.
Las ventas las hizo por piezas enteras.
Las longitudes de las piezas de tela eran, en metros, de:

15 - 31 - 19 - 18 - 16 y 20.

¿Qué longitud tenía la pieza de tela amarilla?

Segundo Nivel

Sobre una circunferencia se marcan 33 puntos que la dividen en 33 partes iguales. Se numeran consecutivamente y en el sentido de las agujas del reloj con

0, 1, 2, 3, 4, ..., 32.

Se pintan con rojo algunos de esos puntos de manera que no queden dos pares de puntos rojos a la misma distancia.
¿Cuál es el mayor número de puntos que pueden pintarse de rojo ?
Explicar por qué y representar gráficamente.

Tercer Nivel

En un recipiente cúbico de 1 m de arista hay 3 cm de agua.
Se introduce un cubo de plomo en el recipiente y, cuando queda apoyado en el fondo, la altura del agua en el recipiente es de 4 cm.

¿Cuál es la longitud de la arista del cubo de plomo?

Primer Nivel

Inicialmente hay un "1" en la pantalla. Al apretar la tecla A se multiplica por 3 el número de la pantalla. Al apretar la tecla B, se resta 1 al número de la pantalla. Utilizando una secuencia de teclas A y B hay que llegar a tener en la pantalla el 97.

¿Cuál es el número mínimo de teclas que se deben usar?

Segundo Nivel

Martín tiene la lista de todos los números naturales de 25 cifras que se pueden formar utilizando sólo los dígitos 1, 2, 3, 4 y tienen igual cantidad de dígitos "1" que de dígitos "2", por ejemplo,

,etc.

Jorge tiene la lista de todos los números naturales de 50 cifras formados por 25 dígitos "1" y 25 dígitos "2".

Demostrar que la lista de Martín tiene la misma cantidad de números que la de Jorge.

Tercer Nivel

Demostrar que para todo n>2 existe un número compuesto (no primo) de n cifras, una de ellas igual a 7 y las restantes n-1 iguales a 1.