Problemas Semanales

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• XV-126. (Primer Nivel)

El trapecio isósceles ABCD está inscrito en la circunferencia de centro O y radio 2. Sabiendo que ^AOB = 120° y COD = 60°, hallar el área del trapecio.

 

• XV-226. (Segundo Nivel)

En San Pablo, las patentes de los automóviles tienen tres letras (de un alfabeto de 26) y cuatro dígitos. Imaginemos que los ordenamos y numeramos de la siguiente manera:

AAA 0000 ® 1
AAA 0001 ® 2
...
...
AAA 9999 ® 10000
AAB 0000 ® 10001
AAB 0001 ® 10002
etc.

En esta situación se pide:

1. Si la patente ABC 0000 corresponde al número x y la patente ABD 0000 corresponde a y, calcular y - x.
2. Si la patente ABC 0000 corresponde al número x y la patente ACD 0000 corresponde a z, calcular z - x.
3. Si la patente ABC 9876 corresponde al número p, calcular p.
4. Si la patente BDE 9876 corresponde al número q, calcular q.

 

• XV-326. (Tercer Nivel)

Sea p un primo, p = 3k + 2 para un valor entero k. Demostrar que si p divide a a² + ab + b para ciertos enteros a y b, entonces p divide a a y p divide a b.

 

• VII-126 (Primer nivel)

Gabi tiene 32 fichas:
4 fichas tienen escrito el número "1", 4 fichas tienen escrito el "2",
4 fichas tienen escrito el "3", 4 fichas tienen escrito el "4",
4 fichas tienen escrito el "5", 4 fichas tienen escrito el "6",
4 fichas tienen escrito el "7" y 4 fichas tienen escrito el "8".
Gabi quiere armar 16 grupos de 2 fichas cada uno, de modo que no haya grupos repetidos y que cuando sume los números de las fichas de cada grupo, el resultado sea siempre un número par.
¿Puede hacerlo? Explica por qué.

• VII-226 (Segundo nivel)

Daniel quiere comprar 2 libros de entre los 7 que le gustan.
Cada libro cuesta una cantidad entera de pesos; el precio del más barato es $ 2.
Daniel observa que las distintas elecciones de 2 libros, entre los 7 que le gustan, cuestan cantidades distintas de dinero.
¿Cuánto debe costar cada libro para que la suma de los precios de los 7 libros sea la menor posible?

 

• VII-326 (Tercer nivel)

Juan arma números de varias cifras con la siguiente condición:
En un mismo número, tantas veces como escribe un dígito, escribe su diferencia con 9.
¿Cuántos de estos números entre 1 y 10.000 puede escribir Juan?

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