El Problema de la Semana 17 de Octubre

[ Otros problemas ]

Primer Nivel

Un rompecabezas tiene 81 piezas cuadradas de 1 cm de lado cada una.
Usando todas las piezas se arman dos rectángulos distintos de modo que el perímetro del más grande sea el doble del perímetro del más chico.
¿Cuáles son el largo y el ancho de cada uno de los dos rectángulos?

Segundo Nivel

Un sólido K tiene los cortes que se muestran. Si la unidad de volumen es el cubo C, ¿cuál es el volumen de K?

Tercer Nivel

En una circunferencia de centro O, se traza una cuerda AB que no pasa por O.
Se traza la recta tangente a la circunferencia en el punto B y se toma el punto C sobre esta recta de manera que el triángulo BAC sea rectángulo en A.
Demostrar que la recta tangente a la circunferencia en el punto A pasa por el punto medio de BC.
Nota: Si P es un punto de una circunferencia de centro O, la recta tangente a la circunferencia en P es perpendicular al radio OP.

Primer Nivel

Dos polígonos regulares de lado 1 se llaman amigos si:

• tienen un lado en común que los deja en semiplanos opuestos y
• los dos lados, uno de cada polígono, que concurren en un vértice del lado común, son lados de un triángulo equilátero.

Hallar todos los pares de polígonos amigos.

Segundo Nivel

En un tablero cuadrado que tiene un número par de casillas y está pintado como
un tablero de ajedrez, se coloca un número en todas las casillas de acuerdo con las siguientes reglas:

• En cada casilla blanca se escribe 0 ó 1, de modo que haya la misma cantidad de casillas blancas con 0 que con 1.
• En cada casilla negra se escribe la suma de los números que hay en las casillas blancas vecinas.

Si se ponen los números en el tablero de modo que la suma de todos los números escritos sea la menor posible, la suma es m. Si se ponen los números en el tablero de modo que la suma de todos los números escritos sea la mayor posible, la suma es m+1996. Hallar las dimensiones del tablero.

Tercer Nivel

Sean a, b, c las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que

f(x) = b²x² + (b²+c²-a²)x+c² > 0 para todo x.