El Problema de la Semana 10 de Octubre

[ Otros problemas ]

Primer Nivel

En un aro circular hay chapitas numeradas como muestra la figura. Cuando se elige un grupo de chapitas consecutivas, se escribe el número que queda formado leyendo las cifras de las chapitas en el sentido de las agujas del reloj. Por ejemplo: si se elige el grupo formado por el 2, el 8 y el 9, se escribe el número 289. Separar todas las chapitas en tres grupos de modo que al escribir los números que quedan, el producto de los dos primeros sea el tercero.

Segundo Nivel

Juan y Pedro ponen "1" y "2" en los vértices de un hexágono regular como el de la figura. Cada uno en su turno pone un uno o un dos, a su elección. Después de seis jugadas, cuando el juego termina, un árbitro pone, en cada lado del hexágono, el producto de los números de los dos vértices. Para finalizar, suma los doce números escritos. Si la suma es impar, gana Juan; si es par, gana Pedro. Uno de los dos puede ganar siempre, no importa lo bien que juegue el otro. Si empieza Juan, ¿quién gana y cuál es su estrategia ganadora?

Tercer Nivel

En el siguiente cuadro las letras representan números. Cada letra tiene siempre el mismo valor, independientemente de su posición en el cuadro. Los números que están a la derecha del cuadro corresponden a la suma de cada fila. Los números que están debajo del cuadro corresponden a la suma de cada columna. Encontrar el valor de N.

Primer Nivel

Escribir el mayor número natural que verifique simultáneamente:

• sus dígitos son sólo 1, 2, 3 y 4 (se pueden repetir)
• siempre que en dos posiciones distintas (i y j) figure el mismo dígito, en las dos posiciones inmediatamente a la derecha de ellas (i+1, j+1) figuran dígitos distintos entre si.

Segundo Nivel

Determinar la cifra de las unidades del número

10¹⁹⁹⁶ / (10⁴⁹⁹ + 1997)

Tercer Nivel

Hallar todos los enteros k para los cuales existe una función f: N -> Z que satisface

1. f(1995)=1996
2. f(xy)=f(x)+f(y)+kf(m_xy) para todos los naturales x, y , donde m_xy denota el máximo común divisor de los números x, y.

Nota: N={1,2,3,....} y Z={....,-2,-1,0,1,2,....}.