Problemas Semanales
| 6 de Noviembre de 1998 |
| OMA |
En una caja hay algunas monedas, todas aparentemente iguales, pero se sabe que exactamente una de ellas es falsa. Todas las monedas auténticas tienen exactamente el mismo peso, que es distinto del peso de la falsa. Sherlock quiere averiguar si la moneda falsa es más pesada o más liviana que las auténticas. Watson le ofrece una balanza de dos platos, con la que puede comparar entre sí cualesquiera dos grupos de monedas (colocando un grupo en cada plato) y saber cuál de los grupos pesa más o si los dos grupos pesan lo mismo. Demostrar que puede resolver el enigma realizando sólo dos pesadas si:
- la cantidad total de monedas de la caja es 999;
- la cantidad total de monedas de la caja es 1000.
Hay varias bolsas, cada una con una enorme cantidad de monedas. En cada bolsa, todas las monedas tienen igual peso, que es un entero positivo, menor que 10. Se dispone de una balanza que puede pesar con exactitud la cantidad de monedas que uno quiera. Determinar el número mínimo de pesadas necesarias para saber cuánto pesa cada moneda de cada una de las bolsas.
Sea
un polinomio de grado dos con coeficientes reales y sean a, b, c tres enteros distintos. Demostrar que al menos uno de los números |f (a)|, |f (b)|, |f (c)| es mayor o igual que 1/2. ¿Se puede reemplazar la constante 1/2 por un número mayor?
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