El Problema de la Semana 3 de Octubre

[ Otros problemas ]

Primer Nivel

En el juego de "PAN Y QUESO" dos chicos dicen PAN, QUESO, en forma alternada y van uno al encuentro del otro por la línea pintada, poniendo cada vez un pie pegadito al otro.

Al decir PAN, el primer jugador adelanta un pie; al decir QUESO, lo hace el segundo. Gana el que pisa primero al otro.
En el recreo armaron dos equipos de tres chicos para jugar.
En el equipo de Aníbal, los tres calzan 40(40cm); en el equipo de Blas, uno calza 33(33cm), otro calza 34(34cm) y el tercero calza 35(35cm).
La línea pintada mide 775 cm. Cada equipo elige un chico para jugar.
Si inicia el juego el equipo de Aníbal, ¿a quién elige Blas para ganar?
Si inicia el juego el equipo de Blas, ¿a quién elige Blas para ganar?

Segundo Nivel

El arco AB es un cuarto de una circunferencia de centro O y radio 10cm. Los arcos OA y OB son semicircunferencias. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Tercer Nivel

Ariel, Germán, Martín y Raúl son integrantes del centro de estudiantes y uno de ellos es, además el presidente del centro y compañero de curso de uno de los otros tres.
En la fiesta de fin de curso, cada uno de ellos vendió bonos contribución.
Ariel sólo vendió bonos de $3 , Germán bonos de $4 , Martín de $6 y Raúl de $8. Cada uno vendió un número distinto de bonos.
El presidente del centro vendió el mayor número de bonos y recaudó en total $72. Su compañero de curso vendió el menor número de bonos y recaudó $24 en total. Entre todos recaudaron $161.
¿Quién es el presidente y quién su compañero de curso?

Primer Nivel

En la lotería de Truchilandia, cada billete tiene un número de tres cifras que usa sólo los dígitos 1, 2, 3 y 4 (se pueden repetir dígitos). Un billete es ganador si coincide en por lo menos dos posiciones con el número sorteado.
Un apostador quiere comprar varios billetes, de manera tal que uno de ellos gane seguro, pero gastando lo menos posible. Determinar cuántos billetes debe comprar e indicar qué billetes debe comprar.
ACLARACION: Si se sorteó el 423 entonces 123 es un billete ganador, pero 243 no lo es.

Segundo Nivel

Una circunferencia tiene pintados de rojo tres puntos A, B y C, en el sentido de las agujas del reloj. Pintaremos de rojo otros 1996 puntos de la siguiente manera:
recorremos la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, saliendo de C. Pasamos por un punto pintado (A) y pintamos P₁ en el punto medio del arco AB; seguimos recorriendo la circunferencia en el mismo sentido, pasamos por dos puntos pintados (B y C) y pintamos P₂ en el punto medio del arco CA; a continuación pasamos por tres puntos pintados (A, P₁ y B) y pintamos P₃ en el punto medio del arco BC; y así sucesivamente,hasta que, después de haber pintado P₁₉₉₅ , pasamos por 1996 puntos pintados y pintamos P₁₉₉₆ en el punto medio del arco que corresponda.
Determinar cuántos de los 1996 puntos se pintaron en cada uno de los arcos AB, BC y CA.

Tercer Nivel

Un cuadrado mágico es una tabla

en la cual figuran todos los números naturales del 1 al 16 y tal que:

• todas las filas tienen la misma suma s

s=a_i1+a_i2+a_i3+a_i4  para  i=1,2,3,4

• todas las columnas tienen la misma suma s

s=a_1i+a_2i+a_3i+a_4i  para  i=1,2,3,4

y

• ambas diagonales tienen la misma suma s

s = a₁₁+a₂₂+a₃₃+a₄₄ = a₁₄+a₂₃+a₃₂+a₄₁

Se sabe que a₂₂=1 y a₂₄=2. Calcule a₄₄.