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                           SOLUCION A UN PROBLEMA RUSO





   Extraido del libro "Olimpiadas Matematicas Rusas. Problemas selectos" editado

por Red Olimpica.



La vez pasada presentamos tres hermosos problemas de las olimpiadas sovieticas.

Damos la solucion de uno de ellos.



PROBLEMA: Una comisaria tiene asignados 100 policias. Cada noche estan de guar-

dia 3 de ellos. Demuestre que no se puede organizar el trabajo de modo tal que

dos policias cualesquiera esten juntos exactamente una noche.

SOLUCION:                                  

100

Con los 100 policias se pueden formar (   ) = 4950 pares.

2

3

Cada noche, al haber 3 policias, hay ( ) = 3 de estos 4950 pares.

                                      2

Para que cada par este solo una noche en la comisaria harian falta

4950 / 3 = 1650 noches. Veamos si es posible que 100 policias, estando de a

tres, pueden cubrir 1650 noches. Para esto haria falta que cada policia concu-

rriera 1650 x 3 / 100 = 99/2 noches, que no es un numero exacto de noches.

Si un policia va una noche mas (50), se repite algun par y si va una noche me-

nos (49), hay algun par que no esta nunca en la comisaria.

Otra manera de verlo es teniendo en cuenta que:

Un policia determinado puede integrar 99 pares distintos y cada noche constitu-

ye dos de esos pares (uno con cada uno de los otros dos policias que estan de

guardia).

Para que el problema tuviera solucion, el numero 99/2 deberia ser un numero en-

tero (porque corresponderia a la cantidad de noches).



Como despedida presentamos dos problemas mas de esta seleccion. Hasta el

año que viene.



1) Se tienen N tarjetas y en cada una de ellas hay un "1" o un "-1".

Se permite preguntar, mostrando tres tarjetas "¿a que es igual el producto de

los numeros de estas tres tarjetas?" (Los numeros no se dicen).

Determine el minimo numero de preguntas de este tipo que hay que hacer para

saber el producto de los numeros de las N tarjetas en los casos

                a) N = 30       b) N = 31       c) N = 32



2) En el pizarron se han escrito algunos ceros, unos y dos. En cada paso se

borran dos cifras distintas y se escribe la cifra diferente a las borradas

(en lugar de 0 y 1, la cifra 2; en lugar de 0 y 2 la cifra 1; en lugar de 1

y 2 la cifra 0).

Demuestre que si como resultado de estas operaciones queda un solo numero escri-

to en el pizarron, este no depende del orden en que se realizo el borrado.