Problemática

Comentarios del Problema 7 - 23 / 05 / 2001

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Hola a todos!! Estamos aquí una vez más con las soluciones que ustedes mismos nos han enviado.
Muchas gracias Hernán por escribirnos.

Priemero leamos de nuevo el problema:

XVII Olimpíada Matemática Argentina - Certamen Regional, Primer nivel
Determinar la cantidad de pares de números naturales (a, b) que verifican simultáneamente las siguientes dos condiciones: el máximo común divisor entre a y b es igual al producto de los 5 primeros números naturales; el mínimo común múltiplo entre a y b es igual al producto de los 15 primeros números naturales. Es decir,

mcd (a, b) = 1.2.3.4.5   y   mcm (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.

Hola! Les quería decir que me encanta toda la página y que la visito siempre. Acá está mi solución:

Tanto a como b deberán ser múltiplos de 23.3.5 , porque es el mcd, así que la potencia de dos que divide a a es 23 o mayor, y lo mismo para b. Pero no puede se mayor que 211 porque esta es la potencia de dos que divide al mcm. Es más si 2x y 2y son las potencias de dos que dividen a a y a b respectivamente, entonces exactamente una de ellas deberá ser 23 y la otra 211, porque la mayor de ambas tiene que ser igual a la potencia de dos que divide al mcm, y la menor de ambas tiene que ser la del mcd.
Un razonamiento análogo se puede hacer con las demás potencias de primos, que son

3 y 36 , 5 y 53 , 1 y 72 , 1 y 11 , 1 y 13 (para los primos 3, 5, 7, 11 y 13, que son los que intervienen en el problema) porque mcm=211.36.53.72.11.13 y mcd=23.3.5.70.110.130

Como para cada primo puedo elegir dos posibilidades (una, que la mayor potencia de ese primo esté en a, y la otra es que esté en b) y tengo 6 primos en esos números, entonces tengo 26 posibilidades, que vienen a ser las posibles parejas de números a y b

Un abrazo

Herny


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