Problema 5 - 24 / 10 / 2000
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Como se viene el torneo, para ir entrando en calor veamos algún problema de estas competencias.
El problema nos lo propuso nuestro amigo Alejandro Braun.
| XX Torneo Internacional de las Ciudades, primavera del hemisferio norte - Nivel Mayor - Problema 3 |
| Hallar todos los pares (x,y) de enteros positivos tales que tanto x3 + y como x+ y3 son divisibles por x2 + y2. |
Este es un problema de divisibilidad, y en este tipo de problemas, las mejores herramientas suelen ser:
si a / b y a / c => a / (b-c) , a / (b+c) , a / (bx + cy) con x e y también enteros.
si a / b => o bien b = 0 o el módulo de b es mayor o igual que el de a.
(el símbolo a / b quiere decir "a divide a b")
También es bueno recordar algunas factorizaciones muy comunes:
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y² )
x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y² )
x² - y² = (x - y)(x + y) (nunca está de más)
y algo de desigualdades, aunque no muy avanzadas, del tipo aritmético-geométrica:
(x + y)/2 >= (xy) 1/2 para x e y reales positivos, dándose la igualdad si y sólo si x=y
No es necesario que usen tooodas estas formulitas en este problema, pero en otros pueden llegar a ser útiles.
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