Comentarios del Problema 5 - 09 / 02 / 2001
Esperamos sus mails en problematica@oma.org.ar
Ahora veremos la solución que nos envió Francisco R. del barrio de Caballito. Y de paso les recordamos que si resuelven algunos de los problemas propuestos, y tienen ganas, pueden enviarnos sus soluciones, a la misma dirección de siempre (la que dice arriba).
Recodemos el problema:
| XX Torneo Internacional de las Ciudades, primavera del hemisferio norte - Nivel Mayor - Problema 3 |
| Hallar todos los pares (x,y) de enteros positivos tales que tanto x3 + y como x+ y3 son divisibles por x2 + y2. |
Llamo d al mcd(x, y), entonces, puedo escribirlos como:
x=d*m , y =d*n , donde m y n son coprimos, entonces, como x2 + y2 = d2*(m2+n2) divide a los números
x3 + y = d3
*m3 + d*n = d*(d2*m3 + n), y a
x + y3 = d3*n3 + d*m
= d*(d2*n3 + m)
tengo que, en particular, d2
divide a d*(d2*m3 + n) y a d*(d2*n3
+ m), o lo que es lo mismo
d divide a (d2*m3 + n) y a (d2*n3
+ m), entonces, d divide a n y a m, pero n y m eran coprimos,
luego, d debe valer uno.
Entonces, x=m e y=n con x e y
coprimos.
Como x2 + y2
divide a x3 + y , pero también divide a x*( x2
+ y2),
entonces divide a la diferencia entre ambos números, que es:
x3 + y2*x
- (x3 + y) = y2*x - y = y*(y*x - 1).
Pero tal que p divide a y, al mismo timepo que x2 + y2 no puede tener factores en común con y, porque, de existir cierto primo p p divide a x e y no tienen factores en común. De acá x2 + y2 , resulta que p divide a x2, por lo que p divide a x, absurdo, dado que sale que que dividir a y*x - 1.x2 + y2 es coprimo con y. Como x2 + y2 divide a y*(y*x - 1), entonces tiene
Como tanto x e y son enteros positivos, sucede que x2 + y2 debe ser menor o igual que y*x - 1, a menos que y*x -1 sea igual a cero, en cuyo caso, cualquier número lo divide. Sin pérdida de generalidad, supongo que x >= y >=1 y de ahí saco que : x2 + y2 >= x2 + 1 >= x*y +1 > x*y -1, luego, para que x2 + y2 divida a y*x - 1 debe ser éste último igual a cero, de donde x*y = 1 , entonces x=y=1.
Me falta la verificación. Como x2 + y2 vale 2 y tanto x3 + y como x + y3 valen 2, resulta, que la solución x=y=1 cumple con lo pedido.
¿Soluciones, preguntas, dudas, problemas? Esperamos sus mails en problematica@oma.org.ar
 OmaNet Problemática |
OmaNet - Educación Interactiva www.oma.org.ar/omanet | omanet@oma.org.ar |
| mensajes webmaster@oma.org.ar |