Comentarios del Problema 4 - 24 / 10 / 2000

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Hoy nos toca ver el problema 4.

Aquí lo copiamos de nuevo, por las dudas.

Siguiendo la pista anteriormente mencionada, la idea es relacionar cada elemento de una lista, con alguno de la otra, y ver que dicha relación es única, es decir, que no estoy juntando dos numeritos de la lista de Jorge con el mismo elemento de la lista de Martín.

Una idea puede ser la siguiente:

Se toma un número de la lista de Martín, y lo tranformamos en uno de la lista de Jorge, poniendo en lugar de cada número "1" el par "11", en lugar de cada "2" el par "22", en lugar de cada "3" la dupla "12" y en lugar de cada "4" un "21". A modo de ejemplo (con números chiquitos) si quisiésemos tranformar el número 111223421122 nos quedaría:

1 1 1 2 2 3 4 2 1 1 2 2 --------> 11 11 11 22 22 12 21 22 11 11 22 22

Notemos en primer lugar que el resultado tendrá 50 dígitos, estará formado sólo por "1" y "2", y tendrá iguales cantidades de éstos, ya que por cada "3" o por cada "4" que había en el número de Martín, se agregó un "1" y un "2", lo que nos brinda hasta el momento iguales cantidades de cada uno, y por cada "1" del número original, ahora tendremos dos "1" más, y lo mismo por cada "2", ahora tendremos un par de "2" más, pero en la lista de Martín, los números tienen iguales cantidades de unos que de doses, o sea que ahora agregué el doble de esa cantidad de unos, y el doble de esa cantidad de doses.

Esto nos da un número con las características de los de la lista de Jorge, veamos ahora que dado un número de esta lista, podemos tranformarlo en uno de la lista de Martín.

La idea sería la misma, pero para atrás, tomamos un número de los de 50 dígitos, y lo partimos en 25 pedacitos de a dos cifras.

Éstos pueden ser o bien "11", o "22", o "12", o "21". Los cambiamos por "1", "2", "3" y "4" respectivamente y obtendremos uno de 25 dígitos, formado sólo por dígitos 1, 2, 3 y/o 4. Por ejemplo, tranformemos el número 211212221121 (claro que los números de Jorge tienen 50 dígitos)

21 12 12 22 11 21 ----------> 4 3 3 2 1 4

Faltaría ver que éste nuevo número tiene igual cantidad de "1" que de "2", siempre que el primero venga de la lista de Jorge.

Para ver mejor la idea, llamamos C1, C2, C3, y C4 a las cantidades de veces que aparecen los pares "11", "22", "12" y "21" con el primer dígito ocupando un lugar impar. Así pues, en 211212221121 se tendrá que:

C1 = 1
C2 = 1
C3 = 2
C4 = 2

Ya que en 21 12 12 22 11 21 aparecen dos veces cada par "21" y "12" y sólo una vez los pares "22" y "11".

Como sólo los pares "22" y los "11" nos darán dígitos "2" y "1", y queremos ver que estas cantidades serán iguales, deberemos probar que hay igual cantidad de parejas "22" que de parejas "11", es decir, para cada número de la lista de Jorge, se tiene que C1 = C2

Contemos la cantidad de veces que aparece un dígito "1" en el número de Jorge.

Por cada par "22" no aparece ninguno, por cada par "11" aparecen dos, y por cada par "21" o "12" sólo aparece un "1". Es decir, la cantidad de "1" que hay sería:

2* C1 + C3 + C4

Y la cantidad de dígitos "2", se puede calcular de forma similar, sólo que nos dará:

2* C2 + C3 + C4

Como hay igual cantidad de "1" que de "2" en al lista de Jorge, se tiene que :

2* C1 + C3 + C4 = 2* C2 + C3 + C4

2* C1 = 2* C2

C1 = C2

O sea, la cantidad de pares "22" debe ser igual a la de pares "11" y al tranformar el número de Jorge, se obtiene alguno de la lista de Martín.

Como hemos encontrado una tranformación que va de un conjunto al otro, y otra tranformación que hace lo mismo pero desde el otro conjunto hasta el primero, las cantidades de elementos de ambos conjuntos deben ser iguales.

Es importante aclarar que si sólo hubiésemos puesto una tranformación (es decir, sin la inversa), ésto no nos garantizaría la igualdad de cantidades, pero sí podría servir para demostrar que una lista tiene más elementos que la otra, por ejemplo, si se forman dos listas, una con todas las ternas de números enteros que pueden ser lados de un triángulo de perímetro 36, y otra con las ternas de números enteros que pueden ser lados de un triángulo de perímetro 39, cuál tendrá más?

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