Nota 15 - 20 / 06 / 2000
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Vamos a comentar la solución que nos mandó Ana Belén al problema del regional de la 16ª OMA que propusimos en la nota 14:
| 16ª Olimpíada Matemática Argentina 1999 - Certamen Regional - Primer nivel |
| Se tiene un papel rojo con forma de hexágono regular de lado 2 y un papel azul con forma de cuadrado de diagonal igual a 4. Se coloca el cuadrado encima del hexágono de modo que dos vértices opuestos del cuadrado coincidan con dos vértices opuestos del hexágono. Hallar el área de la región del hexágono que no queda cubierta por el cuadrado, es decir de la región roja visible. |
Es difícil escribir matemática sin usar símbolos matemáticos, pero esperamos que se entienda.
El área roja que queda visible es igual al área del hexágono menos el área del cuadrado. Pero hay que sumarle el área de los 2 triangulitos que están fuera del hexágono.
Área roja visible = (ABDEFH) – (ACEG) + (GI’I") + (CJ’J")
(Los paréntesis denotan el área del polígono que se indique entre los paréntesis.)
Tenemos que (GI’I") = (CJ’J").
Calculemos las áreas de las figuras:
(ABDEFH):
apotema ABDEFH = IO
IO = altura de HOF, con HOF equilátero.
Por Pitágoras . . .
IO2 + 12 = 22
IO = raíz de (4 - 1)
IO = raíz de 3
área (ABDEFH) = (perímetro * apotema) / 2
área (ABDEFH) = (2 * 6 * raíz de (3)) / 2 = 6 * (raíz de 3)
(ABDEFH) 6 * (raíz de 3)
OG = radio de la circunferencia de centro O. Entonces
OG = 2.
IO + GI = 2. Despejando:
GI = 2 – (raíz de 3)
El ángulo OGE = 45°, ya que el ángulo EGA = 90° y GC = diagonal de ACGE; por lo que el triángulo G I I´ es isósceles. Entonces GI = I I'
área (GI’I") = b * h / 2
área (GI’I") = 2 * (2 - raíz de 3) * (2 - raíz de 3) / 2
área (GI’I") = (2 – raíz de 3)2
área (GI’I") = 4 - 2 * 2 * raíz de 3 + 3
área (GI’I") = 7 – 4 (raíz de 3)
AC = lado del cuadrado ACGE
Por Pitágoras . . .
AC2 + AC2 = 42
2 * AC2 = 16
AC2 = 8
área (ACGE) = AC2
área (ACGE) = 8
Reemplazando la ecuación inicial:
Área roja visible = 6 * (raíz de 3) – 8 + 2 * (7 – 4 * (raíz de 3) )
Área roja visible = 6 * (raíz de 3) – 8 + 14 – 8 * (raíz de 3)
Área roja visible = 6 - 2 * (raíz de 3)
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