Clase 8 - Los números

La noción de número se remonta a varios milenios atrás. Incluso las tribus más "primitivas", antiguas y actuales, tienen el concepto de cantidad, aunque algunas de ellas sólo se manejen con uno, dos y muchos.

Se requirieron muchos siglos de trabajo para llegar al desarrollo actual de la idea de número, pasando por sistemas no muy fructíferos como los números romanos, la notación sexagesimal y otras que cayeron en desuso.

Los primeros números que surgieron son los naturales, N = {1, 2, 3, 4, ....}. Aunque este conjunto de números es realmente sencillo tiene propiedades muy interesantes, algunas de ellas extremadamente complicadas.

Los números primos y las ecuaciones diofánticas, fundamentalmente, han traido dolores de cabeza a matemáticos de todos los tiempos. De hecho, varios de los problemas abiertos en matemáticas, o sea los que aún no han sido resueltos; o cuya solución se ha presentado recientemente, corresponden a este área conocida como teoría de números.

• Último teorema de Fermat: ¿Existe alguna terna de números naturales x, y, z que satisfaga la siguiente ecuación siendo n > 2?:

xⁿ + yⁿ = zⁿ

• Conjetura de Goldbach: Todos los números pares mayores que 2 se pueden representar como la suma de dos números primos. Por ejemplo: 42 = 5 + 37, 100 = 3 + 97, etc.
• ¿Cómo están distribuidos los números primos?

La aparición del cero y de los números negativos ocurrió mucho después que surgiera el concepto de número fraccionario. Aunque en oriente los chinos manejaban la idea de número negativo varios siglos antes de Cristo, en occidente tomo mucho más tiempo y recién se afianzó la idea durante el siglo XVII al resolver ecuaciones algebraicas. Esto dió lugar al conjunto de los enteros, Z = {...., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Unos de los primeros en manejar con éxito las fracciones fueron los egipcios alrededor del 2000 a.C. Estas fracciones, junto con los negativos y los números enteros dieron lugar al conjunto de los números racionales, Q = {p/q, tal que p y q son números enteros}. Ejemplos de números racionales son 2/7; -6/5; 4; 0,3138031785; 0,333...., etc. En notación decimal, los racionales están descriptos por alguna de las siguientes características:

• son enteros,
• ó, tienen una cantidad finita de dígitos después de la coma,
• ó, son peródicos (por ejemplo 1,89323232323232.....)

Las fracciones fueron luego tomadas por los griegos, quienes, en un principio, pensaron que el universo se regía por los números naturales y la proporciones entre ellos. Más tarde se dieron cuenta que esto no era así pues algunos números como la proporción entre la diagonal de un cuadrado y su lado no podían representarse como cociente entre dos números naturales.

Así surgieron los números irracionales, en contraposición a los racionales, que se pueden describir como los números que tienen infinitos dígitos después de la coma y que no son periódicos.

Un ejemplo de irracional es el siguiente: 0,101001000100001..... ¿Se animan a probar que este número no es periódico? Algunos comentarios interesantes que vienen a colación de este ejemplo:

• No es cierto que un número irracional contenga todos los dígitos del 0 al 9.
• Es falso que en un número irracional no se pueda saber que dígito ocupa la n-ésima posición después de la coma (aunque la mayoría de las veces no pueda conocerse).

La unión de los números irracionales con los racionales da el conjunto de los números reales.

Sin embargo, aquí no termina la historia, pues luego de los reales vinieron los números complejos. Éstos nacieron en el siglo XVI al intentar resolver ecuaciones de segundo grado como x² + 9 = 0 u otras de mayor grado. Aquí aparecen expresiones como que en un principio resultaron difíciles de interpretar. ¿Qué número multiplicado por sí mismo da -9?

Así surge el número i, donde i² = -1, abriendo paso al desarrollo de los números complejos que poco a poco fueron haciéndose más familiares hasta que se les dió una representación geométrica clara. Éstos números resultaron de gran utilidad para unificar resultados importantes en álgebra, análisis y teoría de números. Sí, también en teoría de números ya que utilizando números de la forma con a y b enteros se probó que no existen números naturales x, y, z tal que x³ + y³ = z³.

Como verán, "el todo es más que la suma de las partes" ya que teoremas referidos a los números complejos pueden ayudar al descubrimiento de propiedades de los enteros, y propiedades de los reales contribuyen en teoremas sobre números complejos, etc.... Veamos algunos problemas al respecto.

A. Demostrar que no es un número racional.

B. ¿Es un entero el número ?

Soluciones

A. Muchas veces habrán oido que es un número irracional. Veamos por qué esto es así. Supongamos que existen enteros p y q coprimos (es decir que no tienen ningún divisor en común) tal que:

= p/q

Entonces, elevando ambos miembros al cuadrado, 2 = p²/q², y despejando llegamos a que:

2q² = p²

Como 2 | p² siendo el número 2 primo, entonces 2 | p (recuerden que a | b significa que a divide a b). Es decir p es par y por tanto se puede escribir como p = 2k con k entero. Sustituyendo:

2q² = (2k)² = 4k²

q² = 2k²

Esto último implica que 2 | q² y por tanto 2 | q. Esto es absurdo pues si p y q son coprimos no es posible que 2 | p y 2 | q. Este absurdo vino de suponer que existían tales p y q. Concluimos entonces que es irracional.

Con la misma idea que utilizamos en esta demostración se puede probar que la raíz cuadrada de un número entero es, o bien entera o irracional. ¿Se animan a probarlo?

B. Este problema es un poco más difícil que el anterior. ¿Cómo hacemos para probar que un número es entero? Una buena forma, aunque no siempre funciona, es directamente hallar el número.

Lo primero que podemos afirmar es que es real, pues la raíz cúbica de un número real es real, y la suma de dos reales también es un número real. Para simplificar los cálculos, llamenos a A al número:

Entonces debemos hallar el valor de . ¿Recuerdan la fórmula del cuatrinomio cubo perfecto? Sino, aquí va:

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + 3ab(a + b) + b³

Por tanto:

()³ = 2 + A + 3. () + 2 - A

Teniendo en cuenta que (2 + A)(2 - A) = 4 - A² = 4 - (100/81).3 = 8/27 entonces:

()³ = 4 + 3.2/3 ()

Si llamamos N al número que deseamos hallar vemos que:

N³ = 4 + 2N
N³ - 2N - 4 = 0

Usando Gauss (recuerdan cuando vimos como obtener raices racionales de polinomios). Vemos que 2 es raíz de esta ecuación de grado 3. Dividiendo este polinomio por N-2 vemos que:

N³ - 2N - 4 = (N-2)(N² + 2N + 2)

Si sacamos las raices de N² + 2N + 2 = 0 vemos que éstas son complejas. Esto, además, puede notarse ya que N² + 2N + 2 = (N+1)² + 1 > 0 si N es real pues todos los cuadrados de reales son positivos.

Entonces el único real N que satisface N³ - 2N - 4 = 0 es N = 2. Por tanto, el número buscado es 2 que es entero.

Como habrán notado en estos problemas es falso que las ideas y teoremas de un conjunto de números son inútiles en otro. En el problema A, para demostrar la irracionalidad de utilizamos teoría de dividiblidad en los enteros. En el problema B para probar que N era entero necesitamos demostrar primero que era real para descartar la posibilidad de que el número fuera alguna de las raíces de N² + 2N + 2 = 0.

Les dejamos algunos problemas y ejercicios para que sigan explorando ustedes mismos este maravilloso universo: los números....

Problemas y ejercicios

1. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser verdaderas demostrarlas y en caso de ser falsas buscar un contraejemplo:

• La suma de dos irracionales es irracional.
• Si la suma de dos reales es racional y el producto de los mismos es entero, entonces ambos números son racionales.
• La ecuación x³ + y³ = z³ tiene soluciones en enteros.
• Entre dos racionales hay infinitos irracionales.
• Entre dos irracionales hay infinitos racionales.

2. ¿Es racional el número log(2)?

3. ¿Es el número 0,12345678910111213141516.... irracional?

Esta fue la octava clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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