Clase 7 - Vectores y desigualdades
Esta clase continuando con el tema de vectores, introduciremos algunas desigualdades y problemas relacionados con ellas.
La primera que veremos hoy es la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
|a · b| < ||a||.||b||
La demostración para tres dimensiones es realmente sencilla pues, como recordarán a · b = ||a||.||b||.cos(a, b) y dado que |cos(a, b)| < 1 entonces |a · b| < ||a||.||b||.
Lo interesante de esta desigualdad es que también funciona para dimensiones superiores. Antes que nada vamos a definir un vector en n dimensiones como una n-úpla de números reales ordenados: a = (a1, a2, ...,an). De este modo, otra forma de escribir la desigualdad de Cauchy-Shwarz es la siguiente:
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)2 < (a12 + a22 + ... + an2 ).(b12 + b22 + ... + bn2 )
donde los a1, a2, ...,an, b1, b2, ...,bn son reales. La igualdad se da si y sólo si a1/b1 = ... = an/bn es decir cuando los vectores a y b son paralelos.
La demostración del caso general es más complicada que para 3 dimensiones por lo que no la vamos a tratar esta clase. Les sugerimos que intenten probarla ustedes mismos teniendo en cuenta que al hacer distributiva:
Pasemos, ahora, a la segunda desigualdad que trataremos hoy, y que probablemente ya la conozcan, la desigualdad triangular:
En su versión geométrica dice que si ABC es un triángulo entonces cada lado es menor que la suma de los otros dos. La variante en álgebra dice que:
| ||a + b|| < ||a|| + ||b|| |
Vamos a demostrarla. En primer lugar, ||a + b||2 = (a + b) · (a + b) = a · a + b · b + 2.a · b. Entonces:
||a + b||2 = ||a||2 + ||b||2 + 2.a · b
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz sabemos que a · b < ||a||.||b|| de donde:
||a + b||2 < ||a||2 + ||b||2 + 2.||a||.||b|| = (||a|| + ||b||)2 y como el primer y tercer miembro son cuadrados de números positivos entonces:
||a + b|| < ||a|| + ||b||
La igualdad se da solamente cuando se da la igualdad en Cauchy-Schwarz, es decir cuando los vectores a y b son paralelos.
Vayamos a los problemas de la clase de hoy:
A. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones donde x, y, z son reales positivos:
B. Sean A un punto sobre la circunferencia K y B el diametralmente opuesto. Sea P un punto sobre el segmento AB tal que AP.PB = 1. Sean X1, X2 y X3 puntos en una de las semicircunferencias determinadas por AB. Las rectas X1P, X2P y X3P intersecan a K en Y1, Y2 e Y3, respectivamente. Sabiendo que X1P + X2P + X3P = 3 hallar el menor valor que puede tener Y1P + Y2P + Y3P.
Soluciones
A. A primera vista, este problema no muestra mucha relación con lo visto durante la clase. Sin embargo, ahora veremos la conexión que tiene con la desigualdad triangular.
En la siguiente figura CED, EFG, AGH y ABC son
triángulos rectángulos tal que:
Entonces BC = 6 y AB = x + y + z = 8. Por el teorema de Pitágoras en ABC sabemos que AC = 10. |
Utilizando Pitágoras en los demás triángulos rectángulos tenemos que:
Entonces GA + GE + EC =
Por tanto GA + GE + EC = AC. Según la desigualdad triangular:
Sumando ambas desigualdades tenemos que GA + GE + EC > AC, pero como habíamos visto se da la igualdad. Esto implica que en las inecuaciones anteriores se da la igualdad por lo que A, G, E y C están alineados.
| Lo que resta es simple: los cuatro triángulo
rectángulos son semejantes por lo que: AB/BC = 8/6 = z/3 = y/2 = x/1 Despejando:
|
Varios de ustedes se preguntarán, ¿cómo es posible que el sistema tenga una sola solución si tenemos tres incógnitas y sólo dos ecuaciones? Uno está acostubrado a los sistemas de ecuaciones lineales como siguiente:
En estos sistemas, sí es cierto que se requieren como mínimo la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas para que la solución sea única. Sin embargo, esto último no es cierto para cualquier sistema de ecuaciones.
Cada ecuación en un sistema representa una región en el espacio (en los sistema lineales representan planos). Las soluciones de un sistema serán por tanto la intersección de todas las regiones del espacio determinadas por cada una de las ecuaciones. Por ejemplo, si el sistema tiene dos ecuaciones y una de ellas representa un plano y la otra representa una esfera tangente al plano, la solución será única. Interesante, ¿no?
B. Antes vimos un problema de álgebra que se resolvía por geometría, ahora veremos un problema de geometría que se resuelve utilizando álgebra.
La clase pasada introdujimos la potencia de un punto respecto de una esfera. En este caso utilizaremos potencia de un punto P respecto de una circunferencia.
Por estar incriptos en un mismo arco de
circunferencia tenemos las siguientes igualdades de
ángulos:
En consecuencia los triángulos ADP y PBC son semejantes, con: AP/PD = PB/PC |
Despejando: AP.PC = DP.PB. Es decir que el producto AP.PC no cambia al rotar la recta que pasa por P.
En nuestro problema eso implica que:
1 = AP.PB = X1P.Y1P = X2P.Y2P = X3P.Y3P
Consideremos los reales positivos a1, a2, a3, b1, b2 y b3 tales que:
De acuerdo con la desigualdad de Cauchy-Schwarz sabemos que:
(a1b1 + a2b2 + a3b3)2 < (a12 + a22 + a32 ).(b12 + b22 + b32 )
Como 1 = XjP.YjP = aj2.bj2 entonces ajbj = 1 para j = 1, 2, 3. Además como X1P + X2P + X3P = 3 entonces a12 + a22 + a32 = 3. Reemplazando esto en la desigualdad tenemos que:
9 < 3.(b12 + b22 + b32 ) = 3.(Y1P + Y2P + Y3P)
Es decir que el menor valor de Y1P + Y2P + Y3P es 3. Este valor es posible de alcanzar, por ejemplo, si el radio de la circunferencia es 1 y P es el centro de la misma.
Esto es todo por esta clase. Esperamos que la hayan disfrutado tanto como nosotros.
Problemas
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
2. Probar que en cualquier tetraedro hay un vértice tal que los tres lados que concurren en él pueden ser lados de un triángulo.
3. Demostrar la siguiente desigualdad:
¿Puede darse la igualdad si n > 1?
Ayuda: Tener en cuenta que:
- 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
- 12 + 22 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
4. Se tienen en el plano un conjunto de n punto tal que no hay 3 alineados. Algunos de estos puntos están unidos mediante segmentos. Si dos segmentos se cruzan, una operación permitida es descruzarlos como en la figura:
| operación |
Decidir si es posible realizar infinitas operaciones.
Esta fue la séptima clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.
Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .
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