Clase 6 - Vectores y geometría
Los vectores ofrecen una fuente casi inagotable de ideas y problemas en ramas tan diversas de la matemática como el Álgebra, el Análisis, la Trigonometría, los número complejos y la Geometría.
Uno de los aspectos fundamentales de los vectores es que permiten describir el espacio, tanto de dos, como de tres o más dimensiones. Es por este motivo que nos permiten sacar buen provecho de la geometría al ofrecer soluciones sencillas y elegantes. Para mostrarles a qué nos referimos, aquí van un par de problemas:
A. Sean A, B, C y M cuatro puntos cualesquiera del espacio. Demostrar que:
MA · BC + MB · CA + MC · AB = 0
B. Sea K una esfera y P un punto exterior a ella. Una recta que pasa por P interseca a la esfera en A y B. Demostrar que PA · PB es independiente de la recta que pase por P.
Soluciones
A. Hagamos un esquema para entender mejor las cosas:
| De acuerdo con la regla de la poligonal: BC = BA + AC Reemplazando en la expresión MA · BC + MB · CA + MC · AB tenemos que: MA · (BA + AC) + MB · CA + MC · AB = |
MA · BA + MA · AC + MB · CA + MC · AB = BA · (CM + MA) + AC · (BM + MA)
Nuevamente por la regla de la poligonal tenemos que:
Sustituyendo llegamos a que:
MA · BC + MB · CA + MC · AB = BA · (CA) + AC · (BA)
MA · BC + MB · CA + MC · AB = BA · (CA + AC) sacando factor común
MA · BC + MB · CA + MC · AB = BA · (CA - CA) pues AC es el opuesto de CA
Con lo cual llegamos a la expresión que queríamos probar y que se denomina relación de Euler. Utilizando esta relación pueden probarse algunos teoremas y pueden resolverse varios problemas:
BC.sen(B-C) + CA.sen(C-A) + AB.sen(A-B) = 0
Recuerden que en la notación que estamos utilizando AB es un segmento y AB (en negrita) es el vector de origen A que apunta hacia B.
B. Este problema es un poco más difícil que el anterior, pero las ideas que utilizaremos en su resolución son de gran importancia y aparecen frecuentemente en otros problemas.
Para comenzar debemos probar un problema que propusimos la clase pasada:
Dados dos puntos, A y C, antipodales en una esfera (es decir opuestos respecto del centro) y B un punto cualquiera de dicha esfera, entonces los vectores BA y BC son ortogonales.
Hagamos una figura de análisis para comprender mejor lo que vamos a hacer, aunque desgraciadamente no podemos hacerlo en 3D:
Sea O el centro de la esfera. De acuerdo con la regla
de la poligonal (vieron que íbamos a usarla mucho):
Por ser A y C puntos antipodales, A, O y C están alineados y además AO = OC (igualdad de segmentos). Por tanto, OC = - OA, de donde BC = BO - OA. |
Entonces BA · BC = (BO + OA) · (BO - OA) = BO · BO - OA · OA = ||BO||2 - ||OA||2
Dado que los segmentos OB y OA son radios de la esfera, miden lo mismo y por tanto BA · BC = 0. Es decir que ambos vectores son ortogonales.
Ahora sí, podemos pasar a resolver el problema que propusimos hoy. Nuevamente tendremos que contentarnos con un esquema bidimensional:
| Sea C el punto antipodal de A con respecto a dicha
esfera. Como demostramos antes AB y BC
son ortogonales, y dado que PA
tiene la misma dirección que AB,
entonces PA y BC son
ortogonales. Es decir que, PA · BC = 0.
Por tanto: PA · PB = PA · (PB + BC) Es decir: PA · PB = PA · PC |
¿En qué nos simplifica calcular PA · PC en vez de PA · PB? Dado que:
Entonces PA · PC = ( PO + OA) · (PO - OA) = ||PO||2 - ||OA||2. Como habrán notado utilizamos el mismo truco que antes.
Finalmente podemos ver que, además de probar que PA · PB es constante, demostramos que este producto es igual a PO2 - r2. Dado que PA y PB son vectores con la misma dirección y sentido, entonces PA · PB = PA.PB de donde:
PA.PB = PO2 - r2
Este producto se conoce como potencia de un punto en relación a la esfera, y es una generalización de un teorema análogo que se aplica a las circunferencias.
Para concluir esta clase les proponemos algunos problemas para intenten ustedes mismos aplicar las ideas que introdujimos hoy.
Problemas
1. Sea ABC un triángulo acutángulo. Demostrar que:
BC.sen(B-C) + CA.sen(C-A) + AB.sen(A-B) = 0
2. ¿Es cierto que para un punto P interior a la esfera, si se traza una recta por P que interseca a la esfera en A y B, entonces PA.PB es contante?
Esta fue la sexta clase de Miscelánea 2001, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.
Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .
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