Clase 5 - Vectores
El concepto de vector es de suma importancia, no sólo en matemáticas sino también en física, química y otras ciencias, ya que permite describir el movimiento, la velocidad, las fuerzas, la polaridad de las moléculas, entre otras cosas. Por ejemplo, cuando nos referimos a fuerzas no es suficiente con decir que sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 100N para describir su movimiento. También es necesario saber la dirección de la fuerza y en que sentido actúa la misma.
Es por esto que el concepto de vector incluye estas tres cosas, pues los vectores están definidos por su longitud (o su módulo), su dirección y su sentido.
Seguramente habrán visto en la escuela la regla del paralelogramo, para suma vectores:
| En este caso, dados los vectores u y v, se traza un paralelogramo, y el vector en rojo corresponde u + v. |
| Otra forma de construir u + v, y que en general tiene más aplicación es la regla de la poligonal. |
Otra operación que se puede hacer con un vector es el producto por un número (o mejor dicho por un escalar), que lo que hace es agrandar o achicar el módulo tantas veces como lo indique el número, y en caso de que éste sea negativo cambia su sentido.
Dado que el vector es un segmento orientado, si A y B son los extremos del vector y la flecha apunta hacia B, entonces notaremos este vector como AB (que es distinto y opuesto a BA).
La representación del vector como un segmento orientado es muy útil a la hora de encarar problemas de geometría, pero deja mucho que desear cuando queremos explorar propiedades algebraicas y de describir el espacio de 3 o más dimensiones.
Es por esto, que generalmente se representa a los vectores a través de coordenadas. Para no complicar demasiado las cosas en esta clase nos referiremos casi exclusivamente a los vectores de 3 coordenadas, es decir los que describen el espacio:
u = (u1, u2, u3) donde los números u1, u2 y u3 son las componentes del vector u; la primera, la segunda y la tercera respectivamente. Es muy importante respetar el orden, ya que dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes son iguales y en el mismo orden.
De esta forma la suma de dos vectores, y el producto de un vector por un número real k se definen:
Cuando nos referimos al vector AB, donde A y B son dos puntos del espacio tal que las coordenadas del punto A son (a1, a2, a3) y la del punto B son (b1, b2, b3) entonces el vector AB es igual a (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3).
A la hora de escribir es importante conocer la siguiente notación:
0 = (0, 0, 0) que es el vector nulo
-u = (-u1, -u2, -u3)
que es el vector opuesto de u
u - v = u + (-v)
que es la diferencia entre los vectores u y v
Por ejemplo, si u = (1, -3, 4) y v = (0, 2, -3) entonces:
¿Sea animan a probar que la representación gráfica y la de coordenadas son equivalentes al sumar vectores y al multiplicar por escalares?
Aún nos quedan un par de cuestiones teóricas por ver esta clase. La primera de ellas es la norma o longitud del vector definida como:
Por ejemplo, si u = (-3, 12, 4) entonces ||u|| = 13. Hagan la cuenta ustedes mismos.
La segunda cuestión es el producto interno, que se define como:
u · v = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3
En base a esta definición se pueden probar algunas propiedades interesantes como:
Una de las propiedades más importantes del producto interno es que mide el ángulo entre dos vectores. Esto es así ya que u · v = ||u|| · ||v|| . cos(q), donde q es el ángulo entre los vectores u y v. Veamos por qué:
Tal vez recuerden el teorema del coseno que dice que en un triángulo ABC se cumple que:
AB2 = AC2 + BC2 - 2.AC.BC.cos(BCA)
| Aplicando el teorema del coseno en la figura tenemos
que: ||u - v||2 = ||u||2 + ||v||2 - 2.||u||.||v||.cos(q) Ya que ||u - v||2 = (u - v) · (u - v), ||u||2 = u · u y ||v||2 = v · v podemos reescribir la ecuación anterior como: (u - v) · (u - v) = u · u + v · v - 2.||u||.||v||.cos(q) |
Haciendo distributiva en el primer miembro:
(u - v) · (u - v) = u · u + v · v - 2.u · v
Entonces al sustituir:
u · u + v · v - 2.u · v = u · u + v · v - 2.||u||.||v||.cos(q)
u · v = ||u||.||v||.cos(q)
De esta última igualdad se puede deducir otra propiedad del producto interno:
Por ejemplo, si u = (0, -1, 0) y v = (12, -4, -3) hallemos su producto escalar y el coseno entre ambos vectores:
u · v = 0.12 + (-1).(-4) + 0.(-3) = 4
Además u · v = ||u|| . ||v|| . cos(u, v) = 1 . 13 . cos(u, v) de donde podemos deducir que cos(u, v) = 4/13.
Veamos ahora un par de problemas para ver como utilizar estas herramientas:
A. Sean u, v y w tres vectores de 3 coordenadas, no nulos, ortogonales entre sí; y sean a, b y c números reales tales que a.u + b.v + c.w = 0. Demostrar que a, b y c son iguales a cero.
B. Sea ABC un triángulo y sea G su baricentro (la intersección de las medianas), demostrar que GA + GB + GC = 0.
Soluciones
A. Este problema, aunque al principio asuste un poco, no es para nada complicado. La astucia está en utilizar producto escalar en ambos miembros:
u · (a.u + b.v + c.w) = u · 0
a.(u · u) + b.(u · v) + c.(u · w) = 0 Haciendo distributiva
a.||u||2 + b.(u · v) + c.(u · w) = 0 Recuerden que u · u = ||u||2
a.||u||2 = 0 Por ser los tres vectores ortogonales entre sí u · v y u · w valen cero
Dado que u no es el vector nulo, tiene longitud mayor que cero, es decir ||u||2 > 0. Por tanto, a = 0. Del mismo modo podemos probar que b y c también valen 0.
B.
En primer lugar, de acuerdo con la regla de la
poligonal, tenemos que:
Entonces GA + GB + GC = (GO + GM + GN) + (OA + MB + NC). Además, por ser M, N y O puntos medios:
|
Dado que BA + AC = BC = -CB, entonces BA + CB + AC = 0. Una propiedad interesante de las medianas que tal vez recuerden es que la distancia del baricentro hasta un vértice mide al doble que la distancia del baricentro hasta el punto medio del lado opuesto. Es decir, que:
Por tanto, al reemplazar GA + GB + GC = -1/2 ( GA + GB + GC) + 1/2 (BA + CB + AC). De donde, 3.(GA + GB + GC) = BA + CB + AC = 0 llegando a la igualdad que queríamos probar.
Este resultado que acabamos de probar se puede generalizar para cualquier conjunto finito de puntos en el plano, o en el espacio. Aquí haremos la demostración para el caso bidimensional, por comodidad, pero el caso de varias dimensiones es exactamente igual.
En primer lugar hay que definir que es el baricentro de un conjunto finito de puntos en el plano. Si los puntos del plano son: X1 = (a1, b1); X2 =(a2, b2); ...; Xn = (an, bn) definimos al baricentro G = (A, B) donde:
Les dejamos la tarea de demostrar que para un triángulo las dos definiciones de baricentro que dimos son equivalentes.
Vamos a probar que GX1 + GX2 + ... + GXn = 0. Al comienzo de la clase vimos que:
GXi = (ai - A, bi - B)
Entonces GX1 + GX2 + ... + GXn = (a1 - A, b1 - B) + ... + (an - A, bn - B) = (a1 + a2 + ... + an - n.A, b1 + b2 + ... + bn - n.B) = (0, 0) = 0.
Como pueden ver, la regla de la poligonal es muy útil para resolver problemas geométricos, pero a la hora de hacer generalizaciones la notación de coordenadas resulta mucho más fructífera.
Esto es todo por esta clase. Dentro de quince días continuaremos viendo distintas aplicaciones y problemas con vectores.
Problemas y ejercicios
1. Probar las siguientes fórmulas:
2. ¿Cuál es la condición para que u + v y u - v sean ortogonales?
3. Dado un conjunto de punto en el plano G, X1, X2 , ..., Xn tal que GX1 + GX2 + ... + GXn = 0. Demostrar que G es el baricentro de los otros n puntos.
4. Sea ABCD un tetraedro y sean A´, B´, C´ y D´ los baricentros de las caras opuesas a los vértices A, B, C y D respetivamente. Demostrar que:
A´A + B´B + C´C + D´D = 0
5. Sean A y B dos punto antipodales en una esfera (es decir opuestos respecto del centro) y sea P un punto cualquiera de dicha esfera. Probar que los vectores PA y PB son ortogonales.
Esta fue la quinta clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.
Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .
También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.
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