Clase 2 - Más sobre congruencias

Esta clase veremos más problemas que se resuelven utilizando congruencias, pues, aunque la parte teórica no es extensa sí lo son las aplicaciones de esta simple herramienta.

Antes de avanzar con la clase, les sugerimos a aquellos que recién estén comenzando a usar congruencias, que lean nuevamente la clase anterior y refresquen las ideas y resultados que dimos.

A. Hallar el dígito de las unidades de 13³¹.¿Cuál es el dígito de las decenas de este número?

B. Sean x, y, z enteros positivos tal que la suma de sus cubos es múltiplo de 7. Demostrar que x.y.z es múltiplo de 7.

C. En la ferretería de Pablito todas las cajas de clavos tienen igual cantidad de los mismos. Cuando Pablito vende clavos no abre una nueva caja hasta no haber vendido todos los clavos de la caja que estaba abierta. El lunes, Pablito, al abrir sus local no tiene ninguna caja de clavos abierta. Al finalizar el día le sobran en la caja abierta 122 clavos. El martes vende el doble de clavos que el lunes y de la caja abierta le sobran 49 clavos. ¿Cuántos clavos tiene cada caja?

Soluciones

A. En primer lugar, notemos que un número N es congruente a la cifra de las unidades módulo 10 (si N está escrito en base 10) ya que si a N le resto la unidades obtengo un número terminado en cero (y por lo tanto múltiplo de 10).

Por tanto, 13³¹ = a mód(10) donde a es la cifra de las unidades. Además, como 13 = 3 mód(10) entonces 13³¹ = 3³¹ mód(10). Hagamos una lista de las potencias de 3, a ver si notamos alguna regularidad en la cifra de las unidades:

Como pueden ver se repiten las terminaciones 1, 3, 9, 7. ¿Es esto siempre cierto? La respuesta es sí; veamos por qué.

Sabemos que 3⁴ = 1 mód(10), entonces (3⁴)^k = 1^k mód(10) para cualquier k natural. Es decir que 3^4k = 1 mód(10). Además tenemos que:

3^4k . 3¹ = 3 mód(10) ó sea 3^4k+1 = 3 mód(10)
3^4k . 3² = 9 mód(10) ó sea 3^4k+2 = 9 mód(10)
3^4k . 3³ = 27 mód(10) ó sea 3^4k+3 = 7 mód(10)

Dado que 31 tiene resto 3 en la división por 4 (o sea es de la forma 4k+3) entonces 3³¹ = 7 mód(10). Por lo tanto el dígito de las unidades del número buscado es el 7.

Hallar la cifra de las decenas es un poco más complicado. Podríamos tratar de hallar el resto en la división por 100 (lo cual nos daría las dos últimas cifras de 13³¹) mirando las dos últimas cifras de las potencias de 13, pero este método es demasiado engorroso y hasta tal vez tengamos que evaluar 13³¹ antes de deducir cuando se empiezan a repetir las terminaciones.

Por tanto, habrá que buscar otro método que sea más práctico. Una idea útil es ver que 13³¹ = ((13)³ )¹⁰ . 13. ¿Para qué nos sirve esto? Teniendo en cuenta que 13³ = 2197, entonces podemos ver que 13³ = -3 mód(100). De aquí, deducimos que ((13)³ )¹⁰ = (-3)¹⁰ mód(100). Con cualquier calculadora podemos obtener (-3)¹⁰ = 59049.

Entonces, ((13)³ )¹⁰ = 49 mód(100). De donde ((13)³ )¹⁰ . 13 = 49.13 = 37 mód(100). Es decir, que el dígito de las decenas es el 3.

B. Hallemos los posibles restos de los cubos módulo 7.

Si n = 0 mód (7) => n³ = 0 mód(7)
Si n = 1 mód (7) => n³ = 1 mód(7)
Si n = 2 mód (7) => n³ = 1 mód(7)
Si n = 3 mód (7) => n³ = 6 mód(7)
Si n = 4 mód (7) => n³ = 1 mód(7)
Si n = 5 mód (7) => n³ = 6 mód(7)
Si n = 6 mód (7) => n³ = 6 mód(7)

Es decir que los únicos restos posibles de los cubos módulo 7 son 0, 1 y 6. Si la suma de 3 cubos es múltiplo de 7 entonces tenemos las siguientes posibilidades:

• todos los cubos son múltiplos de 7.
• un cubo es múltiplo de 7, otro congruente a 1 módulo 7 y otro congruente a 6 módulo 7.

En ambos casos al menos uno de los números es divisible por 7, por lo que x.y.z será múltiplo de 7.

Es muy interesante como se comportan los restos de los cubos módulo 7 ya que las únicas posibilidades son 0, 1 y -1 (es mucho más útil usar a -1 que a 6 como resto pues complica menos los cálculos). Lo mismo ocurre con los restos de los cubos módulo 9. En base a esto intenten resolver los siguientes problemas:

• ¿Puede ser 22⁵³ + 2 suma de cubos consecutivos?
• La suma de tres números es múltiplo de 3, demostrar que la suma de sus cubos también lo es.

C. Sea X la cantidad de clavos que hay en cada caja y sea N la cantidad de clavos que vendió Pablito el lunes. Entonces N = k.X + (X-122) donde k es la cantidad de cajas enteras que vendió el lunes (eventualmente cero) y X-122 son los clavitos que vendió de la última caja que abrió. Es decir que N = (k+1).X - 122, o lo que es lo mismo N = -122 mód(X).

Entre el lunes y el martes vendió 3N clavos (ya que el martes vendió 2N) y como sobraron 49 clavos de la última caja sabemos que 3N = p.X + (X-49) donde p es la cantidad de cajas enteras que vendió entre el lunes y el martes. Es decir que 3N = (p+1).X - 49, o lo que es lo mismo 3N = -49 mód(X).

Utilizando la primera ecuación de congruencias y multiplicando por 3 a ambos lados tenemos que: 3N = -366 mód(X). Es decir, tenemos que:

• 3N = -49 mód(X)
• 3N = -366 mód(X).

Entonces restando 3N - 3N = -49 - (-366) mód(X), es decir que 0 = 317 mód(X). Esto último implica que X divide a 317 y dado que los únicos divisores positivos de 317 son 1 y 317 (pues es primo) entonces X debe ser 317. No puede ser 1 pues si las cajas tienen 1 clavo no puede sobrar 122 clavos en una caja.

Esperamos que les hayan gustado los problemas que tratamos hoy. La clase que viene veremos algunos problemas que se resuelven utilizando los criterios de divisibilidad. Les dejamos algunos problemas para que se ejerciten.

Problemas

1. Hallar el resto al dividir a 2²⁰⁰¹ por 11.

2. Hallar todos los enteros positivos x, y, z que cumplen que 1+ 2^x + 3^y = z³.

3. En un tablero rectangular de p filas y q columnas están escritos todos los números enteros desde el 1 hasta el pq, en orden creciente, comenzando con el 1 en la casilla superior izquierda y terminando con pq en la casilla inferior derecha. Se sabe que 95 está en la tercera fila, 987 está en la vigésimo primera fila (es decir, en la fila número 21) y 1999 está en la última fila. Hallar las dimensiones p y q del tablero.

Esta fue la segunda clase de Miscelánea 2001, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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