Clase 13 - Funciones
Esta clase veremos una introducción a las funciones, uno de los temas más importantes de la matemática. No es necesario saber mucha teoría acerca de funciones para poder resolver problemas complejos e interesantes como veremos en las situaciones que proponemos hoy.
Antes de ver los problemas hagamos un repaso (o una introducción en caso de que nunca lo hayan visto) a las funciones.
Una función f : A --> B asigna a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B. Veamos algunos ejemplos:
El conjunto A se denomina dominio y es el conjunto de partida de la función y el conjunto B se llama codominio. Sin embargo, puede que la función no alcance a todo el conjunto B. Por ejemplo, la primer función que les mostramos alcanza sólo a los reales no negativos.
Al conjunto que alcanza la función se lo denomina imagen de f y definido correctamente es el conjunto {y pertenecientes a B tal que existe x perteneciente a A con f(x) = y}.
Por ejemplo, en la primera función el dominio son todos los reales, el codominio son los reales y la imagen son los reales no negativos. Veamos, ahora, algunas definiciones:
Una función f se dice inyectiva si f(a) = f(b) implica que a = b. Por ejemplo:
Una función f se dice sobreyectiva si Codom f = Im f. Por ejemplo:
Como podrán ver es muy importante especificar el dominio y el codominio de las funciones ya que de ello dependen las propiedades de la función.
Una función se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo:
Les proponemos los siguientes ejercicios para fijar los conocimientos que vimos hoy:
a) Hallar un conjunto X para que f: X --> X tal que f(x) = x + 5 sea biyectiva y un conjunto X para el que no lo sea.
b) Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hallar la cantidad de funciones f : A --> B que sean inyectivas. ¿Hay alguna sobreyectiva?
c) Probar que la función "es hijo de" cuyo codominio es el conjunto de todas las madres, es una función sobreyectiva pero no inyectiva.
Vayamos, ahora, a los problemas de esta clase:
A. Sea f una función f : N --> N tal que f(f(n)) = 2n. ¿Es inyectiva? ¿es sobreyectiva?
B. Hallar todas las funciones f : R-->R tales que f(x.f(x) + f(y)) = f(x)² + y para todos los reales x e y.
Intenten resolverlos por su cuenta y recién entonces continúen leyendo.
A. Veamos que f es inyectiva, es decir que f(a) = f(b) implica que a = b.
Si f(a) = f(b) entonces f(f(a)) = f(f(b)). Noten que podemos aplicar f al número f(n) pues f(n) es un número natural al ser N el codominio, y por ser N el dominio. Entonces 2a = 2b con lo que a = b.
Veamos, ahora, que f no es sobreyectiva, razonando por el absurdo. Es decir supongamos que f es sobreyectiva. Entonces si n es un número natural, existe m (natural, también) tal que f(m) = n. Por tanto aplicando f a ambos lados tenemos que 2m = f(f(m)) = f(n).
Como n es un natural cualquiera y f(n) es de la forma 2m tenemos que aplicar f a una natural obtenemos un número par. Es decir que f no llega a todo N (de hecho no llega a ningún impar). Esto es absurdo ya que habíamos supuesto que f era sobreyectiva. Este absurdo se debe precisamente a la suposición hecha, por lo que f no es sobreyectiva.
B. Este problema es un poco más complicado que el anterior y fue tomado en la prueba de selección para la 38va Olimpíada Internacional de Matemáticas.
Cuando tenemos una ecuación funcional como la del enunciado, podemos reemplazar las incógnitas por los valores que se nos ocurran ya que la igualdad es válida para todos los reales x e y.
En particular si ponemos y = -f(x)² tenemos que f(x.f(x) + f(-f(x)²)) = f(x)² - f(x)² = 0. Por lo tanto, existe al menos un real k tal que f(k) = 0, por ejemplo k = 1.f(1) + f(-f(1)²). De hecho, intenten demostrar que f es sobreyectiva.
Entonces en la expresión inicial reemplacemos a x por k:
f(k.f(k) + f(y)) = f(k)² + y
Dado que f(k) = 0 tenemos que f(f(y)) = y para todos los reales y. Reemplacemos ahora a x por f(u) en la ecuación del enunciado, donde u es real:
f(f(u).f(f(u)) + f(y)) = f(f(u))² + y
Dado que f(f(u)) = u por ser u un real entonces la igualdad anterior se puede escribir como:
f(f(u).u + f(y)) = u² + y
Pero si recuerdan, según el enunciado f(f(u).u + f(y)) = f(u)² + y por lo que al igualar con la ecuación anterior tenemos que:
u² + y = f(u)² + y o sea que f(u)² = u²
Por lo tanto f(x) = ± x, lo cual no es lo mismo a que f(x) = x para todo x o que f(x) = -x para todo x, sino que podrían haber valores de x para los cuales f(x) = x y otros para los que f(x) = - x. Veamos que esto último no es posible.
Supongamos que existen a y b reales no nulos tales que f(a) = a y f(b) = -b. Entonces:
f(a.f(a) + f(b)) = f(a)² + b es decir que f(a² - b) = a² + b. O sea, que a² - b = a² + b ó bien -a² + b = a² + b. En ambos casos tenemos que uno de los dos número vale cero lo cual contradice nuestra suposición.
Entonces f(x) = x para todo real x, ó bien f(x) = -x para todo real x. Les dejamos a ustedes la tarea de verificar que ambas funciones cumplen con los requisitos del enunciado.
Como habrán visto, se pueden resolver problemas muy complicados utilizando unos pocos conceptos sobre funciones. Ahora, les dejamos algunos problemas para que ustedes intenten resolver por cuenta propia ...
Problemas y actividades
1. a) Hallar una función f : Q --> Z sobreyectiva pero no inyectiva.
b) Sea f : R -->R tal que f(x) = x si x < 1 y f(x) = x² + 1 si x > 1. Decidir si es inyectiva y/o sobreyectiva.
2. Se define una función f para todos los números reales con las tres propiedades siguientes:
para cualesquiera a y b, donde k es un número real fijo independiente de a y b (que ustedes deben calcular). Hallar f(x).
3. Sea f: N --> N definida por:
f(n) = 2n +8 si n < 9
f(n) = n + f(n-8) si n > 8
Calcular f(1994)
4. Hallar todas las funciones f: N --> N tal que f(a+b) = f(a) + f(b) para todo a y b naturales.
*5. Demostrar que existe una función biyectiva f : N --> Q pero no existe una función biyectiva f : N --> R
Esta fue la décimo tercera clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.
Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .
También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.
 Miscelánea OmaNet |
Internet vía OmaNet www.oma.org.ar/omanet | omanet@oma.org.ar |
| mensajes webmaster@oma.org.ar |