Clase 12 - Probabilidades

La Probabilidad es la ciencia que se ocupa de dar alguna certeza sobre lo incierto. Por ejemplo, no podremos saber si la próxima vez que tire un dado saldrá un 4, pero sí sabemos que hay una posibilidad de 6 de que salga.

Es por este motivo que las probabilidades tienen una importancia fundamental en las ciencias empíricas, como la Física, la Química, la Biología y Economía.

En física, cuando se estudian los átomos, es de gran interés tener información sobre los electrones (las partículas cargas negativamente) pues éstos son los que participan en las uniones químicas para dar lugar a moléculas, etc. Estos electrones no se mueven en órbitas circulares como antes se creía, sino que su distancia al núcleo varía. Desgraciadamente no se puede conocer la posición de un electrón y su velocidad simultáneamente. Sin embargo sí se puede conocer las zonas del espacio donde las probabilidad de hallar el electrón es alta (90%). A estas regiones se las conoce como orbitales atómicos.

En economía para predecir el comportamiento de los mercados, para saber si la bolsa va subir o bajar, etc. es de suma utilidad el cálculo de probabilidades y la estadística.

En el siglo XIX Gregor Mendel estudió los mecanismos de la herencia, hoy considerados la base de la genética. Gran parte de las especies presentan dos copias de cada gen, uno proveniente de la madre y otro del padre (los genes son porciones de ADN que contienen la información que hace al individuo). Cada gen puede tener varias versiones. Por ejemplo, una planta de arvejas, como la estudiada por Mendel, puede tener semillas lisas o semillas rugosas, semillas amarillas o verdes. Al gen que determina que la semilla sea amarilla lo llamamos A y al que da semillas verdes a. Los individuos pueden ser AA (amarillo), Aa (amarillo) o aa (verde).

Si se cruza una planta Aa con una Aa, ambas amarillas, la probabilidad de que sea AA es del 25%, de que se Aa un 50% (pues la A puede venir de la madre o del padre) y de que sea aa un 25%. Entonces la probabilidad de que sea amarillo es del 75% y de que sea verde un 25%. ¿Se animan a hallar la probabilidad de que dos individuos con semillas amarillas, hijos de dos plantas Aa, tengan un hijo con semillas verdes?

Otro área donde las probabilidades son fundamentales es en los juegos donde interviene el azar: la ruleta, los juegos de cartas, la lotería, los dados, etc. Veamos algunos problemas que utilizan los cálculos probabilísiticos:

A. En el truco, ¿qué es más probable, que el oponente tenga todas sus cartas mayores que 6 o que ocurra lo contrario?

B. Un bolillero tiene 98 bolillas blancas y 2 bolillas negras. Primero se sacan 2 bolillas, y se ponen las blancas (si las hay) nuevamente en el bolillero. Luego se sacan 2 bolillas más. ¿Cuál es la probabilidad de haber sacado las 2 bolillas negras?

C. Decidir si es posible cargar dos dados (no necesariamente ambos de la misma manera) de forma tal que, al arrojarlos, todos los números del 2 al 12 tengan la misma probabilidad de ser la suma de las dos caras superiores.
Aclaración: Cargar los dados significa asignar números p(1), p(2), ..., p(6) y q(1), ..., q(6), uno para cada cara, con 0 < p(i), q(i) < 1 y p(1) + ... + p(6) = q(1) + ... + q(6) = 1, que indican la probabilidad con que sale esa cara cuando se arroja el dado respectivo.

La probabilidad de que un evento A suceda, que denotaremos como P(A), es igual a:

Por ejemplo la probabilidad de que al tirar los dados se obtenga un 5 es 1/6 pues hay un caso favorable y 6 casos posibles.

La probabilidad de que un número de 5 cifras tenga la suma de sus dígitos igual a 10 es 714/90.000 ya hay según vimos la clase pasada hay 714 casos favorables y en total hay 90.000 casos posibles, o sea, números de 5 cifras.

La definición de P(A) nos dice también que cualquiera sea el evento A, 0 < P(A) < 1.

¿Qué sucede y si queremos calcular la probabilidad de más de un evento? Si A y B son sucesos independientes, es decir que el que ocurra A no afecta el que ocurra B y viceversa, entonces:

P(A y B) = P(A) . P(B)

P(A y/o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

¿Se animan a probar estas fórmulas? Una sugerencia para hacerlo es utilizar la definición de P(A), P(B), etc. y luego recurrir a las ideas de combinatoria que dimos en clases anteriores.

En el caso de que los eventos no sean independientes, la cosa se complica un poco más. En este caso:

P(A y B) = P(A) . P(B suponiendo que ocurrió A)

Vayamos a los problemas y veamos como se utilizan estos conocimientos ....

A. Aquí los más fácil de calcular es la probabilidad de que el oponente tenga todas sus cartas mayores que 6. Contemos primero los casos favorables. En el mazo de truco hay 28 cartas que son mayores que 6. Tenemos que extraer 3 cartas de un conjunto de 28 cartas. Esto puede realizarse de C(28, 3) = 28! / (25! 3!) = 3276 formas.

Un mazo de truco tiene 40 cartas por lo que la cantidad de formas de extraer 3 cartas del mazo es igual a C(40, 3) = 40! / (37! 3!) = 9880. Por lo tanto la probabilidad de que el oponente tenga todas sus cartas mayores que 6 es igual a 3276 / 9880 = 63 / 190 < 0,5. Por lo tanto es más probable que el oponente tenga una carta menor o igual a un 6 a que no la tenga. Sorprendente, ¿no?

Otra forma de hacer el problema es suponer que A, B y C son los sucesos de extraer la primera, la segunda y la tercer carta mayores que 6. Entonces:

P(A) = 28 / 40

P(B suponiendo que pasó A) = 27/39

P(C suponiendo que ocurrió A y B) = 26/38

Entonces P(A, B y C) = 28/40 * 27/39 * 26 * 38 = 19656 / 59280 = 63 / 190

B. Podemos dividir el problema en tres casos para facilitar las cosas.

Caso 1

El primero es que en al extraer por primera vez 2 bolillas ninguna sea negra (A) y que la segunda vez se extraigan las 2 negras (B). Por un lado P(A) = 98/100 * 97/99 = 4753/4950 procediendo de la misma forma que en el problema anterior. Si sucedió A entonces se reponen las 2 bolillas blancas que se extrajeron por lo que ahora las 2 bolillas que se extraigan (de las 100 que hay ahora en el bolillero) tienen que las dos negras. Entonces:

P(B suponiendo que pasó A) = 2/100 * 1/99 = 1/ 4950

Por lo que P(A y B) = 4753/4950 * 1/4950

Caso 2

En este caso se extraen primero una bolilla blanca y una negra (A). Se repone la blanca y al extraer las dos bolillas sacamos la negra restante (B). La probabilidad de que al efectuar la primera extracción las dos bolillas sean blancas es 4753/4950 y la probabilidad de que sean las dos negras es 1/4950 como calculamos antes, entonces P(A) = 1 - 4753/4950 - 1/4950 = ya que si no se extraen dos bolillas del mismo color, una será blanca y la otra negra. Simplificando P(A) = 98 / 2475.

Al efectuar la segunda extracción hay en el bolillero 98 pelotitas blancas y una negra (recordar que se repuso la blanca). La idea para obtener P(B suponiendo que pasó A) es igual a la utilizada antes. La probabilidad de extraer dos pelotitas blancas es 98/99 * 97/98 = 97/99 por lo que P(B si pasó A) = 1 - 97/99 = 2/99. Entonces:

P(A y B) = 98/2475 * 2/99 = 196 / 245025

Caso 3

En este caso se extraen las dos pelotitas negras al principio. La probabilidad de que esto suceda según calculamos anteriormente es 1/4950.

Estos tres casos son mutuamente excluyentes por lo que la probabilidad total a calcular es igual a la suma de las probabilidades calculadas; es decir 29303 / 24502500.

C. Este es un problema bastante complicado que fue tomado en la competencia de matemáticas universitaria Ernesto Paenza el 29 de agosto de este año.

Recordemos que para el dado A habíamos asignado probabilidades p(1), ..., p(6) de que salieran los números 1, 2, ..., 6 respectivamente. Para el dado B las probabilidades eran q(1), ..., q(6).

Para que la suma de las caras superiores sea 2 tanto el dado A como el B tienen que tener el 1 en la parte superior. La probabilidad de que esto suceda es p(1)*q(1) ya que tirar el dado A no influye en como tiramos el dado B.

De forma similar para que la suma de las cara superiores sea 12 ambos dados tienen que tener un 6 en la parte superior y la probabilidad de que esto pase es p(6)*q(6).

Para que la suma de las caras superiores sea 7 tenemos varias posibilidades:

Entonces la probabilidad de que la suma sea 7 es p(1)*q(6) + p(2)*q(5) + p(3)*q(4) + p(4)*q(3) + p(5)*q(2) + p(6)*q(1)

Como hay 11 eventos posibles (que sume 2, 3, 4, ...., 12) y todos tienen la misma probabilidad, entonces esta probabilidad es 1/11.

Además sabemos que todas las probabilidades son mayores o iguales que 0, por definición por lo que p(1)*q(6) + p(6)*q(1) < 1/11

Por el otro lado sabemos que p(1)*q(1) = p(6)*q(6) = 1/11 de donde tenemos que:

p(1)*q(1) + p(6)*q(6) = 2/11

Restando las expresiones marcadas tenemos que:

p(1)*q(1) + p(6)*q(6) - p(1)*q(6) - p(6)*q(1) > 1/11 > 0

[ p(1) - p(6) ] * [ q(1) - q(6) ] > 0

Entonces p(1) - p(6) y q(1) - q(6) tienen el mismo signo para que su producto sea positivo. Esto es absurdo pues de suceder p(1) * q(1) sería distinto de p(6) * q(6). Por lo tanto, aunque parezca sorprendente, no es posible cargar los dados.

Terminando la clase les dejamos algunos problemas para que practiquen, se entretengan y engañen a sus amigos.

Problemas

1. En un aula hay 25 alumnos. Demostrar que es más probable que haya dos que cumplan el mismo día del año, a que esto no suceda.

2. Sean a(1), a(2), ..., a(n) números reales entre 0 y 1. Demostrar que:

a(1)*a(2)* ...*a(n) + (1-a(1))* ... * (1-a(n)) < 1

3. En un dado cargado p(1) = 0,1 p(2) = 0,1 p(3) = 0, 2 y p(4) = 0,2. Se tira dos veces el mismo dado y se suman los números en las caras superiores. Si la probabilidad de que sumen 7 es 0,16 calcular la probabilidad de que al tirar el dado salga el 6.

4. Una persona que sabía poco de probabilidades hizo el siguiente razonamiento:

La probabilidad de que haya una bomba en un avión es de 1/1.000 por lo que la probabilidad de que hayan dos bombas en un avión es 1/1.000.000. Entonces siempre viaja con una bomba en su maletín pues la probabilidad de que haya dos bombas es mucho menor de que haya una bomba en el avión.

Hallar el error en el razonamiento.

5. Valeria se olvidó el código para sacar dinero del banco. Lo único que recuerda es que el número es de 5 dígitos, los cuales eran en algún orden 2, 2, 5, 7, 8. Si puede intentar acertar el código hasta tres veces antes de que el cajero le trague la tarjeta, ¿cuál es la probabilidad de que pueda extraer dinero?

6. Gabriela sabe que entre el 14 y el 20 de octubre (ambos días inclusive) tiene tres exámenes: Algoritmos, Probabilidades y Análisis.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de esos días tenga al menos dos exámenes?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Probabilidades y Análsis sean en dos días consecutivos?

7. Si en una disco hay 20 personas (era un pueblo muuuuuy chico) entre los cuales hay 10 chicos y 10 chicas. A Andrés y a Roberto les gusta Carolina. Cada uno de los chicos de la fiesta elige en orden a una chica para bailar, y lo hacen al azar, salvo Roberto y Andrés.Si Andrés puede elegir a la chica en quinto lugar, y no se sabe si Roberto elige antes o después, ¿cuál es la probabilidad de que Andrés pueda bailar con Carolina?

Esta fue la décimo segunda clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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