Clase 7 - Progresión Aritmética y Geométrica

Las progresiones aritméticas (PA) y las progresiones geométricas (PG) son tipos especiales de sucesiones numéricas. Así que antes que nada, veamos que es una sucesión.

Las sucesiones numéricas, son seguidillas de números (que pueden ser enteros, reales, complejos). Veamos algunos ejemplos:

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
b) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
c) 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
d) -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...

La primera es la sucesión de los números naturales y la segunda es la sucesión de los números primos. La sucesión c) cumple que cada término es el doble del anterior, mientras que la última sucesión tiene la propiedad que cada término es igual al anterior sumado a 3.

Ustedes se preguntarán, ¿no habrá otra sucesión que empiece 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 pero que no sea la sucesión de los naturales? Más aún, ¿puedo definir precisamente una sucesión a partir de algunos términos? La respuesta a esta última pregunta es NO.

Es decir que habrá que encontrar una buena notación que me permita definir una sucesión sin dar lugar a ambigüedad. Una buena forma de hacerlo es expresando cada término de la sucesión en función de algunos términos anteriores, como lo hicimos con c) y d).

Representaremos como a(n) al n-ésimo término de la sucesión. De este modo en la sucesión d tendremos que a(1) = - 4, a(2) = -1, a(3) = 2, etc.

Entonces, la sucesión c) se puede expresar como a(n+1) = 2 . a(n). Sin embargo para que quede bien definida tenemos que dar el valor del primer término (porque el primero no se puede expresar en función de un término anterior), que en este caso es a(1) = 1/4.

Por el otro lado la sucesión d) se puede expresar como a(n+1) = a(n) + 3 y a(1) = -4.

Para el caso b) aún no se conoce ninguna forma de expresar la sucesión de los números primos en función de términos anteriores o de n, lo cual podría ser uno de los más importantes motivos por los que hay tantos problemas abiertos que involucran a estos números. Para aquellos que no lo saben, un problema abierto es un problema que aún no tiene solución. Aquí van algunos:
1) ¿Para que primos p el número 2^p - 1 es primo?
2) ¿ Hay infinitos primos de la forma n² + 1?
3) ¿Hay siempre algún primo entre n² y (n+1)²?

Las sucesiones numéricas tienen una gran utilidad en la ciencia empírica pues constituyen el material base para predecir eventos futuros. Por ejemplo, para poder hacer alguna predicción sobre la temperatura en un lugar determinado lo primero que se hace es calcular la temperatura en distintos momentos del día, todos los días durante varios años.

El objetivo de los meteorólogos es poder encontrar una fórmula para esta sucesión numérica y de este modo poder predecir con cierta exactitud, y teniendo en cuenta otros parámetros, la temperatura para los próximos días, o poder calcular la temperatura mínima, media o máxima en el lugar.

Claro está que no se podrá asegurar con un 100% de exactitud lo que va a pasar pues como vimos, no se puede definir una sucesión de infinitos términos basándonos en algunos de ellos, por más que sean millones. Lo que nos da la cantidad es un mayor poder de predicción, pero siempre está la posibilidad de que nuestra pronóstico falle.

Bueno, ahora que sabemos qué es una sucesión y como se puede escribir vamos a definir las progresiones que vamos a tratar esta clase.

Una progresión aritmética (PA) es una sucesión donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Es decir que a(n+1) = a(n) + d donde d es la diferencia.

Una progresión geométrica (PG) es una sucesión donde la razón entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Es decir que a(n+1) = r . a(n) donde r es la razón. El número r puede ser cualquier real.

De este modo las sucesiones a y d que dimos al comienzo de la clase son PA mientras que la sucesión c es PG. Las fórmulas que acabamos de dar se llaman recursivas porque para poder calcular un término es necesario conocer algunos de los anteriores.

A pesar que las fórmulas que les dimos son precisas, son poco prácticas para calcular términos grandes de las progresiones porque habría que calcular todos términos los anteriores. Por lo tanto, habría que buscar otra forma más práctica de escribirlas.

Veamos primero la PA:

a(1) = a
a(2) = a(1) + d
..........................
a(n) = a(n-1) + d

Si hacemos sucesivos reemplazos llegamos a que a(n) = a + (n-1)d que me permite calcular en n-ésimo término solamente en función del primero y de la diferencia.

Utilizando el mismo procedimiento tenemos que en una PG el n-ésimo término a(n) = a(1).r^n-1, es decir que sólo necesitamos conocer el primer término y la razón. A estas fórmulas que no se basan en términos anteriores sino que dependen solamente de n se las llama fórmulas cerradas.

Esto nos permite resolver problemas como los siguientes:

a) Si el primer término de una PA es 1 y el décimo es 20, ¿cuánto vale el cuarto término? ¿Y el término 2000?

b) El segundo término de una PG vale 3 y el quinto vale 12, ¿cuánto valen a(1) y r?

En ambos casos lo que hay que hacer es despejar el primer término, y la diferencia en la PA y la razón en PG, utilizando las fórmulas cerradas para calcular el n-ésimo término.

El último tema teórico que vamos a ver esta clase es la suma de los primeros n términos de las progresiones. Para ello definiremos S(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n).

En una PA donde a(1) = a y la diferencia vale d tenemos que:

S(n) = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-2)d) + (a+(n-1)d)

Si reagrupamos los términos entonces:

S(n) = n.a + d(1 + 2 + 3 +...+ (n-1))

Veamos como calcular 1 + 2 +...+ (n-1) = K. Por un lado sabemos que:

1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) = 2K

Si agrupamos el primer término con el último, el segundo con el anteúltimo, etc. tenemos que:

(1+(n-1)) + (2+(n-2)) + ... + ((n-1)+1) = n + n + ... + n = n(n-1) = 2K

Entonces tenemos que 1 + 2 + ... + (n-1) = K = n(n-1)/2. Por lo tanto:

S(n) = n.a + d.n(n-1)/2

En el caso de las PG la suma de los primeros n términos, si el primero es a y la razón es r:

S(n) = a + a.r + ... + a.r^n-1 = a (1 + r + ... + r^n-1)

Como recordarán de la clase 4, cuando vimos factorizaciones (r-1)(1 + r + ... + r^n-1) = rⁿ - 1 por lo que:

S(n) = a . (rⁿ - 1)/(r-1)

Esta clase vimos muchas fórmulas, así que si nunca las habían visto antes les sugerimos que vuelvan a leer la clase antes de seguir con los problemas. Tengan cuidado de no mezclarse las fórmulas de las PA con las de PG pues como usamos la misma notación para ambas, se puede prestar a confusión.

A. Sea a(1), a(2), ..., a(1995) 1995 números que verifican:

i) a(19) = a(95) = 0
ii) a(2)-a(1), a(3)-a(2), a(4)-a(3), ..., a(1995)-a(1994) es una progresión aritmética de diferencia 2.

Hallar el menor de estos 1995 números.

B. Sea una sucesión tal que a(n) = n.2ⁿ. Hallar la suma de los primeros n términos de la sucesión.

C. Se tiene una progresión aritmética no constante de 7 términos. Además se sabe que el primer término, el tercero y el séptimo están en progresión geométrica. Demostrar que el primer término vale el doble que la diferencia.

No sigan adelante sin haber intentando resolver los problemas, porque a continuación vienen las soluciones:

A. Antes que nada debemos encontrar una buena notación para a(2)-a(1), ..., a(1995)-a(1994). En general, todos los problemas de sucesiones se facilitan bastante con una buena escritura. Entonces pongamos:

b(k) = a(k+1) - a(k) donde para todo k = 1, 2, 3, ..., 1994

Así b(1) = a(2) - a(1); y b(1000) = a(1001) - a(1000), etc. Entonces la sucesión b(1), b(2), ... b(n) es una progresión aritmética de diferencia 2. Es decir que si b(1) = c entonces b(n) = c + 2(n-1).

Además b(1) + b(2) + ... + b(n) = nc + 2(n)(n-1)/2 = n(c + n-1). Por el otro lado, reemplazando b(k) por a(k+1)-a(k) tenemos que:

a(2) - a(1) + a(3) - a(2) + a(4) - a(3) + ... + a(n-1) - a(n-2) + a(n) - a(n-1) = a(n) - a(1)

Si se fijan, cada vez que sumamos un término después lo restamos. Esto pasa con todos los términos salvo para a(1) que nunca se suma y con a(n) que nunca se resta. Entonces:

a(n) - a(1) = n(c + n-1)

Si n = 19 tenemos que a(19) - a(1) = 19 ( c + 18). Pero según el enunciado a(19) = 0 por lo que a(1) = - 19 (c + 18). Del mismo modo si n = 95 tenemos que a(1) = - 95 (c + 94). Igualando tenemos que 19(c+18) = 95(c+94), y al despejar obtenemos c = - 113.

Como a(19) = 19 (-113+18) + a(1) = 0 entonces a(1) = - 1805. Es decir que, utilizando la fórmula resaltada en verde:

a(n) = n (n - 114) - 1805 = n² - 114n - 1805

Esta es una fórmula cuadrática con raíces 19 y 95. Como vimos en la primera clase del curso, el mínimo de esta función lo hallaremos en n = (19+95)/2 = 57. Es decir que el menor a(n) es a(57) que vale -5054.

Como habrán notado, pudimos obtener mucho más que el menor término de la sucesión; hallamos una fórmula cerrada para el n-ésimo término de la sucesión.

B. Esta progresión no es ni aritmética ni geométrica. Entonces, ¿cómo hallamos la suma de los primeros n términos?

La idea está en inventarnos otra sucesión que sí sea una progresión geométrica. Es decir, pongamos, por ejemplo, b(n) = 2ⁿ. Llamemos S(n) = b(1) + b(2) + ... + b(n) y llamemos F(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n). Entonces:

F(n) = 2 + 2 . 2² + 3 . 2³ + ... + n . 2ⁿ

F(n) = b(1) + 2 b(2) + 3 b(3) + ... + n b(n)

F(n) = [b(1) + b(2) + ... + b(n)] + [b(2) + b(3) + ... + b(n)] + ... + [b(n-1) + b(n)] + [b(n)]

Si se fijan, F(n) es la suma de n progresiones geométricas, por lo que:

F(n) = S(n) + 2.S(n-1) + 2².S(n-2) + 2³.S(n-3) + ... + 2^n-1.S(1)

Utilizando la fórmula de la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica tenemos que:

S(k) = 2^k+1 - 2

Tengan cuidado porque aquí b(1) = 2!!!!

Entonces F(n) = (2ⁿ⁺¹ - 2) + 2 (2ⁿ - 2) + 2².(2^n-1 - 2) + ... + 2^n-1. (2² - 2) que al hacer distributiva nos da:

F(n) = n . 2ⁿ⁺¹ - (2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ) = n . 2ⁿ⁺¹ - (2ⁿ⁺¹- 2)

F(n) = (n-1)2ⁿ⁺¹ + 2

Listo!!!

C. Los términos de la progresión aritmética son a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+6d. Que el primer término, el tercero y el séptimo estén en progresión geométrica significa que la razón entre el primero y el tercero es igual a la razón entre el tercero y el séptimo. Es decir que:

a/(a+2d) = (a+2d)/(a+6d)

Esta última idea es muy importante cuando se trabaja con PG.

Si pasamos multiplicando y distribuimos tenemos que a² + 6ad = a² + 4ad + 4d². Entonces 2ad = 4d² y como d es distinto de cero por ser una PA no constante entonces 2d = a como queríamos probar.

Para terminar les dejamos algunos problemitas. Antes de irse, no se olviden de completar la encuesta que está al final de la clase!!!!!

Problemas

1. Hallar todas las progresiones aritméticas de números naturales cuyos términos sumen 1999.

2. El primer término de un PG vale 3 y el término 1999 vale 108. ¿Cuánto vale el término 1000?

3. Hallar una PA de números naturales con infinitos términos, tal que ninguno de ellos sea la suma de varios cubos consecutivos.

4. Calcular el producto de los primero n términos de una PG en función de a(1), de r y de n.

5. Se tiene un tablero de 9x8 y hay un número real en cada casilla de modo que:

i) los números en cada fila y en cada columna están en progresión aritmética.
ii) la suma de los 4 números de las esquinas es 2000.

Hallar la suma de todos los números del tablero.

Esta fue la séptima clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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