Clase 6 - Polinomios II

En esta clase retomaremos algunos temas que quedaron pendientes la clase anterior y veremos otras ideas que resultan muy útiles en la resolución de problemas que involucran polinomios. Recuerden que al final de la clase hay una encuesta así nos enteramos si las clases están siendo difíciles o fáciles, interesantes o aburridas, y si desean que tratemos algún tema en particular en las clases siguientes. Así que, no se olviden de contestar la encuesta!!!

Aquí van algunos problemas para ir entrando en tema ...

A. Hallar todas las raíces racionales del polinomio P(x) = 3xⁿ - x^n-1 + x - 1/3 con n>2.

B. Probar que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros y de grado mayor que cero tal que P(n) sea primo para todo n natural.

C. Sean a, b, c y d números reales tales que a+b+c+d = 0, ab+ac+ad+bc+bd+cd = 0, abc + abd + acd + bcd = 0. Demostrar que a = b = c = d = 0.

D. Un polinomio de grado 6 con coeficientes reales tiene a: i y a 1+ i como raíces complejas. Demostrar que no puede tener más de dos raíces reales.

Estos cuatro problemas pueden ser encarados con los conocimientos que vimos hasta ahora, en clases pasadas. Sin embargo, hay algunas ideas útiles que pueden facilitar un poco las cosas.

La clase pasada vimos que si r es raíz de P(x) entonces P(r) = 0; o lo que es lo mismo a_nrⁿ + a_n-1r^n-1 + ... + a₁r + a₀ = 0. Si r es racional , pongamos p/q donde p y q no tienen ningún divisor primo en común (o sea son coprimos), y los coeficientes de P(x) son enteros y además a₀ es distinto de cero entonces tenemos que:

a_n(p/q)ⁿ + a_n-1(p/q)^n-1 + ... + a₁(p/q) + a₀ = 0

Si multiplicamos todo por qⁿ entonces vemos que:

a_npⁿ + a_n-1p^n-1 . q + ... + a₁p. q^n-1 + a₀ . qⁿ = 0
a_npⁿ + a_n-1p^n-1 . q + ... + a₁p. q^n-1 + a₀ . qⁿ = 0

Al figurar p como factor en todos los términos salvo el del término independiente (los marcados con azul), y además p divide a cero entonces p debe dividir a a₀, pues no tiene divisores en común con q. Del mismo modo, como q figura en todos los términos marcados en rojo (q divide también a cero) entonces para que se de la igualdad q debe dividir a a_n, porque q no tiene divisores en común con p.

En conclusión si el racional p/q es raíz de P(x) con coeficientes enteros, entonces p debe ser un divisor del término independiente y q debe ser divisor del coeficiente principal. A este teorema se lo conoce como teorema de Gauss.

Por ejemplo si p/q, con p y q enteros coprimos, son raíces del polinomio Q(x) = 4x⁴ - x² - 6x + 3 utilizando el teorema de Gauss tenemos que p divide a 3 y q divide a 4. Entonces los posibles p son 1, -1, 3 y -3 y los posibles q son 1, -1, 2, -2, 4 y -4. No se olviden de incluir los divisores negativos!!! Es decir que los racionales p/q pueden ser 1, -1, 1/2, -1/2, 1/4, -1/4, 3, -3, 3/2, -3/2, 3/4 y -3/4. ¿Hay algún otro?

Esto no significa que estos doce racionales son raíces del polinomio, que de hecho no lo son, sino que quiere decir que si algún racional es raíz de Q(x) entonces tiene que estar entre estos doce racionales.

Para saber si son o no son raíces, lo que debemos hacer es especializar en cada uno de estos racionales (o sea, reemplazar a x por cada uno de ellos) y fijarnos si el polinomio se anula. Aquí vemos que Q(1) = 0, Q(1/2) = 0 y para los demás valores da distinto de cero. Ahora sí, podemos concluir que las únicas raíces racionales de Q(x) son 1 y 1/2.

¿Tendrá Q(x) más raíces, sean reales o complejas? Recuerden que los números complejos son los de la forma a + bi donde a y b son reales y donde i es la raíz cuadrada de -1. La respuesta es sí. Esto se deriva de un resultado general que dice que todo polinomio de coeficientes complejos (obviamente pueden ser todos reales) de grado n tiene exactamente n raíces. En particular tendrá a lo sumo n raíces reales, y serán exactamente n cuando no tenga raíces complejas*. Para tener una escritura más cómoda, adoptaremos la notación complejos* para referirnos a los números complejos que no son reales.

Por ejemplo el polinomio P(x) = x⁴ - x³ - 4x² - 5x - 3 tiene dos raíces reales y dos raíces complejas*, en total son 4, igual que el grado del polinomio. ¿Se animan a encontrar las 4 raíces?

Resulta a veces interesante conocer la cantidad de raíces reales de un polinomio, o lo que es lo mismo, saber la cantidad de raíces complejas* que tendrá. Para ello nos ayudará el siguiente teorema:

Sea P(x) un polinomio de coeficientes reales y sea z un número complejo*. Si z es raíz de P(x) entonces también lo será su conjugado.

Para aquellos que no lo saben, si z = a + bi el conjugado de z es a - bi. Esto nos indica que si z es una raíz compleja* de P(x) entonces su conjugado también será raíz de P(x); además z es distinto de su conjugado si z no es real. Por tanto:

Todo polinomio de coeficientes reales tiene una cantidad par de raíces complejas*.

Utilizando esto podemos saber que si un polinomio de grado 4 tiene al menos una raíz real, entonces tendrá al menos dos raíces reales. Esto sucede porque al tener una raíz real, la cantidad de raíces complejas* es a lo sumo 3. Sin embargo no puede ser 3 pues es impar; es decir que la cantidad de raíces complejas* será dos o cero. En consecuencia podemos afirmar que el polinomio tendrá 2 o 4 raíces reales.

Este teorema nos dice más todavía, que informarnos sobre la paridad de la cantidad de raíces no reales. Si z = a+bi y su conjugado son raíces de P(x) con coeficientes reales entonces (x - (a+bi))(x - (a-bi)) = x² - 2ax + a² + b² divide a P(x). Este polinomio de grado 2, como habrán notado, tiene todos sus coeficientes reales. Entonces, por cada complejo y su conjugado que son raíces de P(x) encontramos un polinomio de grado dos que divide a P(x). Si a es una raíz real entonces x-a divide a P(x).

En otras palabras podemos expresar a cualquier polinomio de coeficientes reales como producto de polinomios de grado uno y dos de coeficientes reales.

Por ejemplo, P(x) = x⁵ - x² + 2x - 2 = (x-1)(x² - x + 1)(x² + 2x + 2). Hagan distributiva y verifíquenlo. Obtener estas factorizaciones no es nada sencillo pues requiere mayores conocimientos sobre números complejos. Es más, incluso en polinomios que tengan todas sus raíces reales no siempre podremos obtenerlas todas. Menos aún si sus coeficientes no son racionales como en los ejemplos que fuimos poniendo a lo largo de la clase.

Aunque existen fórmulas, semejantes a la de la ecuación cuadrática, para obtener las raíces de polinomios de grados 3 y 4 sabiendo solamente los coeficientes del polinomio, no existen fórmulas para polinomios de grados mayores. Es más, Galois demostró que no se puede armar una fórmula para los polinomios de grado 5 o más. Sorprendente, ¿no?

Aquí vienen las soluciones a los problemas así que antes de seguir leyendo les sugerimos que intenten resolverlos de nuevo. Algunos les resultarán más fáciles luego de haber visto la teoría que dimos hoy y otro no tanto ...

A. Luego de haber visto el teorema de Gauss el problema resulta bastante más fácil. El único inconveniente es que nosotros vimos el teorema de Gauss cuando los coeficientes del polinomio son enteros, y el polinomio del enunciado tiene coeficientes racionales. ¿Cómo podemos solucionar esto? El tema es que si P(x)=0 entonces Q(x) = 3P(x) = 0.

Es decir que Q(x) = 9xⁿ - 3x^n-1 + 3x - 1 tendrá las misma raíces que P(x) y tiene todos sus coeficientes enteros. Generalizando este último procedimiento, ¿se les ocurre como probar que para todo polinomio con coeficientes racionales existe un polinomio de coeficientes enteros con exactamente las misma raíces? Les dejamos esta pregunta para que la piensen.

Siguiendo con el problema, por el teorema de Gauss si p/q es un racional que es raíces de Q(x) entonces p divide a 1 y q divide a 9. Es decir que los posibles racionales son 1, -1, 1/3, -1/3, 1/9 y -1/9. Veamos cuales de estos racionales son efectivamente raíces del polinomio:

Q(1) = 9 . 1ⁿ - 3 . 1^n-1 + 3 . 1 - 1 = 8
Q(-1) = 9 . (-1)ⁿ - 3 . (-1)^n-1 + 3 . (-1) - 1 es distinto de cero tanto si n es para como si n es impar.

Veamos que Q(1/9) y Q(-1/9) son distintos de cero. Dado que Q(1/9). 9^n-1 = 1 - 3 + 3.9^n-2 - 9^n-1 no puede ser igual a cero porque todos los términos azules son múltiplos de 3 y el término rojo no lo es, y cero es divisible por 3. En conclusión Q(1/9) no puede ser cero. Del mismo modo se demuestra que Q(-1/9) es distinto de cero.

Por el otro lado Q(-1/3) = 9.(-1/3)ⁿ - 3.(-1/3)^n-1 + 3.(-1/3) - 1 = (-1/3)^n-2 + (-1/3)^n-2 - 2, que siempre es menor que -1. Finalmente tenemos que Q(1/3) = 0. Entonces la única raíz racional de P(x) es 1/3.

B. Este problema viene a colación de un tema que surgió el domingo en correo olímpico sobre si hay una fórmula para obtener todos los números primos o al menos una forma de obtener infinitos primos. Se habló bastante sobre la formula f(x) = x² + x + 41 que es primo para todo x entre 0 y 39 pero f(40) = 41² que no es primo. Esta fórmula la propuso Legendre en 1798 posterior a la fórmula de Euler g(x) = x² - x + 41, que es primo para todo x entre 0 y 40.

Existen muchas fórmulas más que permiten obtener algunos primos. Pero la pregunta es, ¿existe alguna fórmula que nos permita encontrar todos los primos? En este problema demostraremos que la fórmula para obtener todos los primos no puede ser un polinomio en una variable, es decir en función de x solamente.

Sin embargo, sí existe un polinomio en varias variables con coeficientes enormes, tal que especializado en los enteros da siempre un número primo o un número negativo (de hecho la mayoría de las veces da un negativo) y permite obtener todos los números primos. Este polinomio se llama máquina de Cornwell y es muy complicado para incluir en la clase.

El problema de este polinomio es que al tener coeficientes tan grandes es muy poco práctico para obtener los números primos, incluso utilizando una computadora, pues se tardaría cientos de años para obtener primos aunque estos sean pequeños. Es más que nada un logro teórico, con poco fines prácticos; al menos por ahora.

Volvamos al problema e intentemos utilizar algunas ideas de clases anteriores. ¿Recuerdan que en la clase 4 sobre factorización vimos que si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros entonces para todos los enteros a y b distintos, a-b divide a P(a)-P(b)?

¿Para qué nos sirve? Bueno, supongamos que existe un polinomio de coeficientes enteros tal que P(n) sea primo para todo entero n. Entonces P(b) = p donde b es natural y por lo tanto p es primo.

Entonces si a = b + kp donde k es entero entonces (b+kp)-b = kp divide a P(b+kp)-P(b). En particular p divide a P(b+kp)-P(b). Pero ya sabíamos que p dividía a P(b) por lo que p divide a P(b+kp) para todo entero positivo k. Dado que P(x) era primo para todo x entero entonces P(b+kp) = p.

Si Q(x) = P(x) - p, entonces el polinomio Q(x) cumple que Q(b+kp)=0 para todo k entero. Esto último es imposible porque un polinomio no puede tener una cantidad infinita de raíces. Por tanto, es falso que P(n) puede ser primo para todo entero n.

C. En este problema la idea de hacer sucesivas sustituciones no resulta de gran utilidad pues se llega finalmente a una expresión de dos variables pero de muchos términos que dificultan la factorización. De todas formas, les sugerimos intentar este camino para ver hasta donde pueden llegar.

Pero, si no podemos hacer factorizaciones, ¿qué hacemos? El asunto no es nada fácil, y aunque a primera vista podría parecer bastante obvio que a, b, c y d valgan cero, no lo es en absoluto. Si hubiéramos puesto en el enunciado: sean a, b, c y d reales tales que ab+ac+ad+bc+bd+cd = 0, abc+acd+abd+bcd = 0 y abcd=0 podría suceder que no todos valgan cero; de hecho a = 1 y b = c = d = 0 es solución.

Incluso si nos quedáramos con las expresiones del enunciado y aceptamos soluciones complejas entonces x, -x, xi y -xi para todo x perteneciente a los reales sería solución. Esto nos demuestra que el problema no es para nada evidente. Bueno, basta de charla y pongamos manos a la obra!!!

Comencemos con una idea feliz inventándonos un polinomio que tenga como coeficientes a las expresiones del enunciado. Sea P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d). Si hacemos distributiva:

P(x) = x⁴ - x³ (a+b+c+d) + x² (ab+ac+ad+bc+bd+cd) - x (abc+abd+acd+bcd) + abcd

Como habrán notado las expresiones en azul son las del enunciado. Así que como sabemos que valen cero podemos hacer el reemplazo:

P(x) = x⁴ - x³ (0) + x² (0) - x (0) + abcd
P(x) = x⁴ + abcd

Si a, b, c y d son reales las cuatro raíces de P(x) también deben serlo. Pongamos abcd = k. Sabemos que k no puede ser positivo pues si no P(x) > 0 para todo real x con lo que no tiene raíces reales. Si k es negativo puedo poner k = -u⁴ (¿por qué puedo hacer el reemplazo?). Entonces:

P(x) = x⁴ - u⁴ = (x² + u²)(x² - u²) al hacer diferencia de cuadrados.

Sin embargo el factor x²+u² tiene sus dos raíces complejas por lo que P(x) no puede tener sus cuatro raíces reales. Por tanto k no puede ser negativo tampoco. En conclusión k debe valer cero, o lo que es lo mismo abcd = 0.

Entonces al menos uno de los valores a, b, c y d debe ser cero. Sin perder generalidad supongamos que a = 0. Dado que abc + abd + acd + bcd = 0, los términos que tienen el a valen cero, es decir, bcd = 0. Por tanto, al menos uno de los valores b, c y d vale cero. Sin perder generalidad supongamos que b = 0. Entonces como ab+ac+ad+bc+bd+cd = 0 y las letras en rojo valen cero entonces cd = 0 con lo que c o d valen cero. Si alguno de los dos vale cero como a+b+c+d = 0 = c + d entonces el otro también debe valer cero. En conclusión a = b = c = d = 0 como queríamos probar.

D. Este problema es casi evidente después de ver los temas tratados en esta clase. Si i es una raíz del polinomio también los es -i (su conjugado); y si i+1 es una raíz de P(x) entonces 1-i también lo es. Es decir que P(x) tiene al menos 4 raíces complejas*, y tiene grado 6. Por tanto, la cantidad de raíces reales que tiene no puede ser mayor que dos.

Para terminar, les proponemos algunos problemas para que piensen y practiquen. Acuérdense de completar la encuesta!!!

Problemas

1. Hallar todos los reales k tales que 3x⁴ + kx² + 2 = 0 tenga al menos una solución con k racional.

2. El polinomio P(x) = x³ + 2x² - 3x - 1 tiene a m, n y p como raíces. Hallar un polinomio Q(x) de grado 3 que tenga a 1/m, 1/n y a 1/p como raíces.

3. Demostrar que el gráfico de un polinomio de grado 5 siempre corta al eje de las x al menos una vez. ¿Pasa lo mismo con todo polinomio de grado 4? ¿Te animás a generalizar?

4. Hallar un polinomio de una variable, o sea sólo en función de x, con coeficientes enteros mayores que 3 tal que al especializarlo en los naturales de infinitos primos.

5. Demostrar que P(x) = x⁴ + ax³ + 2x² - bx + 4 y Q(x) = ax³ + x² - bx + 3 no tienen ninguna raíz real en común.

Esta fue la sexta clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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