Clase 4 - Más sobre factorización y enteros

Seguimos factorizando expresiones algebraicas. Esta vez veremos como se factoriza la suma y la diferencia de potencias de igual grado, tema que ya habíamos tocado la clase pasada al ver diferencia de cuadrados.

Esperamos que no hayan tenido muchas dificultades con los problemas que les dejamos. Si tuvieron inconvenientes, tampoco es malo porque a veces uno aprende más intentando resolver un problema por horas, aunque no le salga, que si obtiene la solución en el primer intento.

Al final de esta clase hay una encuesta para ver que tal les parecieron los temas que tratamos, si los problemas fueron o no difíciles, etc. Por favor complétenla, porque las clases son para ustedes y si no tenemos respuesta del otro lado no podremos ir mejorándolas. No se olviden!!!

Nos escribió Alejandro Braun y Fernando Galano preguntando por el problema 3 que les dejamos la clase pasada. Es un problema bastante difícil pero a la vez muy instructivo. Aquí va una pista para aquellos que lo pensaron ...

Si despejan a verán que a = (6-bc)/(bc+b+c), y como a es entero entonces bc+b+c debe dividir a 6-bc. Fíjense si pueden seguirlo desde acá, en caso contrario no duden en escribirnos.

Para ir entrando en tema, les proponemos algunos problemas ...

A. Demostrar que n⁵ - n es divisible por 30 si n es entero.

B. Sabiendo que x + 1/x = 3 calcular x³+1/x³.

C. Demostrar que si x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 entonces ó bien x + y+ z = 0 ó x = y = z.

D. Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros. Sabiendo que P(a)-P(b) = 1 con a y b enteros, demostrar que |a-b| = 1.

Antes de ver como se hacen estos problemas, veamos algunas ideas que pueden ayudar.

La clase pasada vimos como se podía factorizar una diferencia de cuadrados. Muchos de ustedes se habrán preguntado, ¿cómo podemos factorizar una suma o una diferencia de cubos? Y más aún, ¿habrá alguna forma de expresar a xⁿ ± yⁿ como un producto de factores con coeficientes enteros para todo n?

Empecemos por la suma de cubos y la diferencia de cubos que se factorizan de la siguiente forma:

x³ + y³ = (x + y) (x² - xy + y²)

x³ - y³ = (x - y) (x² + xy + y²)

Hagan distributiva y verifíquenlo ...

¿Qué pasaría si en vez de cubos fueran potencias cuartas, o quintas, o ...? Bueno el asunto es más complicado. Aquí les daremos solamente las fórmulas, sin la justificación. De todas formas, pueden verificarlas haciendo distributiva y viendo que pasa en general.

xⁿ - yⁿ = (x - y) (x^n-1 + x^n-2 y + x^n-3 y² + ... + x² . y^n-3 + x . y^n-2 + y^n-1)

En el segundo factor los exponentes de x disminuyen de a 1 (desde n-1 hasta cero), mientras que los exponentes de y aumentan de a 1 (desde el cero hasta n-1).

Para la suma de potencias de igual grado, la cosa es un poco más complicada. Si n es impar, queda de la siguiente forma:

xⁿ + yⁿ = (x + y) (x^n-1 - x^n-2 y + x^n-3 y² - ... + x² . y^n-3 - x . y^n-2 + y^n-1)

Acá también en el segundo factor los exponentes de x disminuyen de a 1 (desde n-1 a cero) y los de y aumentan de a 1 (desde cero a n-1); pero los signos se alternan. Primero un signo +, después uno - , y así sucesivamente. Como n es impar entonces el último signo será siempre +, al igual que el primero.

Si n es par, por el otro lado, x+y no puede aparecer como factor, contrariamente a lo que uno se esperaría. Si fuera así, entonces xⁿ + yⁿ = (x + y)P con P un polinomio en x e y. Ahora si ponemos y = - x tendremos que xⁿ + (-x)ⁿ = (x - x)P = 0; pero como n es par entonces el primer miembro es positivo (porque tanto un número negativo como uno positivo elevado a una potencia par da positivo) cuando x es distinto de cero, por lo que no se puede dar la igualdad.

Debido a que la complejidad del tema escapa a los propósitos de esta clase, dejaremos de lado el caso de que sea una suma de potencias pares.

De todas formas, no todo está perdido pues si n = 2^k . q con q impar entonces:

x^q.2k + y^q.2k = (x^2k )^q + (y^2k )^q

Si miramos el segundo miembro vemos que podemos representar la expresión como suma de potencias impares, que ya sabemos como factorizarla. Por lo tanto, el único inconveniente que tendríamos es cuando n es una potencia de 2.

Con esto terminamos la parte teórica. Veamos, ahora, la solución de los problemas que propusimos al principio de la clase. Antes que nada, traten de hacerlos por su cuenta utilizando la teoría que vimos.

Soluciones

A. Demostrar que n⁵ - n es divisible por 30 equivale a demostrar que es divisible por 2, por 3 y por 5. Para hacerlo factoremos primero la expresión:

n⁵ - n = n (n⁴ - 1) sacando factor común
n⁵ - n = n (n² + 1) (n² - 1) factorizando la diferencia de cuadrados
n⁵ - n = n (n² + 1) (n - 1) (n + 1) nuevamente, factorizando la diferencia de cuadrados

Habrán notado que cuando teníamos n⁴ - 1 no lo factorizamos como diferencia de potencias de igual grado (recuerden que 1 = 1⁴ así que se puede hacer). Cuando en la diferencia de potencias el exponente es par, primero es conveniente hacer diferencia de cuadrados para poder obtener la mayor cantidad posible de factores y de un modo sencillo.

Como n y n+1 están como factores y alguno de los dos es siempre par, entonces la expresión será divisible por 2. Debido a que n-1, n y n+1 son tres números consecutivos, siempre uno de ellos será múltiplo de 3 por lo que nuestra expresión también será divisible por 3.

Ver que la expresión es divisible por 5 para todo entero n, es un poco más difícil. Un número puede tener resto 0, 1, 2, 3 ó 4 en la división por 5. Así que podemos representar a cualquier número entero como 5k+r donde r es el resto.

Si n tiene resto 0 entonces será divisible por 5.
Si n tiene resto 1 entonces n-1 será divisible por 5.
Si n tiene resto 4 entonces n+1 será de la forma 5k+5 que es divisible por 5.

Veamos que pasa cuando r vale 2 o 3; entonces (5k + r)² + 1 = 25k² + 10kr + r² + 1. Si r es 2 entonces r² + 1 = 5 por lo que la expresión n² + 1 será divisible por 5. Si r vale 3 entonces r² + 1 = 10 por lo que n² + 1 también será divisible por 5. Como hemos agotado todas las posibilidades entonces podemos asegurar que la expresión del enunciado es divisible por 5; y con esto terminamos de resolver el problema.

B. Una posible forma de resolver el problema es despejar x en la ecuación x+1/x = 3 y luego reemplazar en la ecuación que queremos obtener. Lo malo de esta solución es que: por un lado no nos aporta nada y por el otro el resultado aparece como una expresión complicada dificil de simplificar. De todas formas, intenten resolverlo por este método ...

Entonces veamos otra forma de hacerlo, factorizando como suma de cubos:

x³+1/x³ = x³ + (1/x)³ = (x + 1/x) (x² - x.(1/x) + 1/x²)

Por el otro lado, (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² = 9, o lo que es los mismo x² - 1 + 1/x² = 6

Entonces x³+1/x³ = 3 . 6 = 18. Más elegante, ¿no?

C. Este problema es más difícil que lo anteriores por el hecho de que estamos acostumbrados a factorizar expresiones con una o dos variables a lo sumo y en este caso aparecen 3. La idea acá es tratar de agrupar las variables de a dos para poder factorizarlas con los métodos que vimos esta clase y la clase pasada.

Una suma de 3 cubos no sabemos factorizarla, pero sí sabemos factorizar una suma de dos cubos. ¿Cómo se puede tranformar la expresión para obtener una suma de dos cubos?. Por un lado sabemos que x³ + y³ = (x + y)³ - 3x²y - 3xy². ¿Por qué? Entonces:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3x²y - 3xy² + z³ - 3xyz

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ + z³ - 3xy(x + y) - 3xyz

Si miran bien, en el segundo miembro los dos primeros términos son una suma de cubos, y sacando factor común en los dos últimos términos, entonces:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z) ((x + y)² - (x + y)z + z²) - 3xy(x + y + z)

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z) ((x + y)² - (x + y)z + z² - 3xy) sacando factor común.

Entonces, como la expresión es igual a cero, o bien el primer factor es igual a cero (con lo que x+y+z=0) o el segundo factor es igual a cero. Si x+y+z no es cero entonces el segundo factor lo será. Es decir que:

x² + y² + z² - xy - xz - yz = 0 Verifiquen que son equivalentes.

El asunto, ahora, es como resolver esta igualdad. ¿Recuerdan el problema 5 que les dejamos la clase pasada? Bueno, si miramos bien la igualdad y la multiplicamos por 2 ...

2x² +2 y² + 2z² - 2xy - 2xz - 2yz = 0
(x² - 2xy + y²) + (x² - 2xz + z²) + (y² - 2yz + z²) = 0 Son todos trinomios cuadrado perfecto
(x - y)² + (x - z)² + (y - z)² = 0

Pero como un cuadrado perfecto nunca es negativo entonces x - y = 0, x - z = 0 e y - z = 0. O lo que es lo mismo x = y = z. Con esto acabamos la demostración.

D. Vamos a demostrar algo más general aún de lo que pide el problema. Probaremos que si P(x) es un poliniomio de coefientes enteros entonces a-b divide a P(a) - P(b) cuando a y b son enteros.

Podemos representar a P(x) = c_nxⁿ + c_n-1x^n-1 + ... + c₁x + c₀. Donde los c_i son coeficientes del polinomio (que son enteros según el enunciado). Entonces:

P(a) - P(b) = (c_naⁿ + c_n-1a^n-1 + ... + c₁a + c₀) - (c_nbⁿ + c_n-1b^n-1 + ... + c₁b + c₀)

P(a) - P(b) = c_n(aⁿ - bⁿ) + c_n-1(a^n-1 - b^n-1) + ... + c₁(a - b) + (c₀ - c₀)

Como todos los términos del segundo miembro son un múltiplo entero de una diferencia de potencias de igual grado y al factorizar éstas siempre aparece a-b como factor, entoces a-b dividirá a toda la expresión y el cociente será entero. De esta forma probamos lo que queríamos.

En el enunciado dice que P(a) - P(b) = 1 es decir que a-b divide a 1. Como a y b son enteros entonces su diferencia será 1, o lo que es lo mismo |a-b| = 1.

Como siempre, para terminar, les dejamos algunos problemas para que se entretengan y practiquen las factorizaciones que aprendimos hoy.

Problemas

1. Hallar todos los valores enteros de x e y tal que 3^2x - 2^2y = 77.

2. Hallar todos los enteros a y b tales que a³ - b³ = 602.

3. Factorizar la expresión x³ - x²y - xy² + y³ y probar que si la expresión vale cero entonces |x| = |y|.

Aclaración: |x| vale x si x > y vale -x si x es negativo. Por ejemplo, |-2| = 2, |3| = 3 y |0| = 0.

4. Hallar todos los valores de k para los cuales existe un polinomio de coeficientes enteros P(x) tal que P(8) = P(1) + k.

5. Probar que n^n-1 - 1 es divisible por (n-1)² para todo entero n > 2.

Esta fue la cuarta clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

Miscelánea OmaNet	Internet vía OmaNet    www.oma.org.ar/omanet | omanet@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar