Clase 3 - Factorización y enteros

En esta clase veremos algunas ideas útiles para factorizar expresiones algebraicas y cómo se aplica esto a la resolución de problemas.

Como siempre para comenzar, unos problemitas ...

A. Hallar los valores enteros de x e y para los cuales x + y + xy = 100.

B. Dados a + b = 3 y a⁴ + b⁴ = 18 hallar el valor de ab.

C. Hallar todos los pares de enteros (a, b) para que a² + b² - 4a - 6b + 11 = 0.

D. Se considera un número n de cuatro cifras, cuadrado perfecto, tal que todas sus cifras son menores que 9. Si a cada cifra se le suma 1, el número resultante es otro cuadrado perfecto. Hallar n.

Antes de ver las soluciones de los problemas veamos algunas ideas que pueden servir para resolverlos.

Una idea conocida es agrupar los monomios de a pares de modo que todos los pares tengan un mismo factor en común. Por ejemplo, si queremos factorizar x³ + x² + x + 1 podemos agrupar el primer término con el tercero, y el segundo término con el cuarto; así (x² + 1) + (x³ + x). Ahora, obtenemos el factor común de cada uno x(x² + 1) + (x² + 1). Entonces podemos sacar factor común a los dos términos y llegar a (x² + 1) (x + 1).

Fíjense que también podríamos haber agrupado el primer término con el segundo, y el tercero con el cuarto. Intenten factorizar la expresión desde acá ...

El mejor método para saber como agrupar los términos es la práctica. Tal vez haya recetas para casos particulares de expresiones, pero dichas recetas se vuelven obsoletas cuando se agregan términos o variables. Así que nuestra sugerencia es: Hagan ejercicios y resuelvan problemas. Acá van unas cuantas expresiones para factorizar:

a) xy + x + y +1
b) 2x³ + x² + 4x + 2
c) xy² + y² - x - 1
d) xyz + xy + yz + xz + x + y + z + 1
e) x⁴ + x³ + 4x² + 3x + 3 [Sugerencia: notar que 4x² = x² + 3x²]

Otra idea útil es tener en cuenta la forma del trinomio cuadrado perfecto. Recordarán que:

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Entonces, ¿cómo nos damos cuenta cuando un trinomio es un cuadrado perfecto? Primero debemos identificar los dos monomios que serían los cuadrados. Aunque a primera vista parezca trivial, no siempre lo es. Por ejemplo en el cuadrado perfecto 4m⁴ + n⁴ + 4m²n² ¿cuáles son los cuadrados? Encuéntrenlos ...

Una vez identificados los dos cuadrados, obtenemos sus raíces. Entonces el tercer monomio deberá ser el doble del producto de estas dos raíces. Si esto no sucede, o bien la expresión no es un trinomio cuadrado perfecto o nos equivocamos al elegir los cuadrados. Acá van algunos ejercicios del tema:

a) Expresar como cuadrado de binomio: 4n² + m² - 4mn
b) Completar el trinomio cuadrado perfecto: 3a² + b², ¿hay otra forma de hacerlo?
c) ¿Es la expresión 4a⁴ + b² + 2ba² un trinomio cuadrado perfecto?

Finalmente la última idea de factorización que veremos en esta clase es la diferencia de cuadrados. Por ejemplo, ¿cómo podemos factorizar la expresión x² - y²? Bueno, fíjense que:

(x - y) (x + y) = x² + xy - xy - y² = x² - y²

Hay otras expresiones que se pueden factorizar usando la misma idea aunque los exponentes sean distintos de 2. Intenten factorizarlas:

a) a⁴ - b⁴
b) x⁶ - 16y²
c) a⁴ - 1

Ahora, estamos en condiciones de resolver los problemas que propusimos al principio de la clase. Antes de seguir adelante, intenten resolverlos por su cuenta.

Soluciones

A. Tanto la expresión xy+x+y como la expresión xy+x+y-100 no se pueden factorizar con las ideas que vimos antes. Entonces, ¿qué hacemos?

Bueno, la idea acá es que sí podemos factorizar xy + x + y + 1 agrupando los dos primeros términos, y el tercero y el cuarto; de lo que obtendremos (x + 1) (y + 1). Por tanto, tendremos que:

xy + x + y + 1 = 100 + 1
(x + 1) (y + 1) = 101

Como x e y son enteros entonces los factores del primer miembro también lo son. Además, 101 es un número primo por lo que tenemos cuatro posibilidades:

B. Como a + b = 3, si elevamos ambos miembros a la cuarta tenemos que:

81 = (a+b)⁴
81 = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ . Verifíquenlo haciendo distributiva ...
81 = a⁴ + b⁴ + 2ab (2a² + 3ab + 2b²)

Reemplazando a⁴ + b⁴ por 18 llegamos a que:

63 = 2ab (2a² + 3ab + 2b²)

Como vimos anteriormente (a + b)² = a² + 2ab + b² por lo que 2a² + 3ab + 2b² = 2(a + b)² - ab.

Es decir que 63 = 2ab (2. 3² - ab) por lo que si reemplazamos a ab por x tendremos que:

63 = 36x - 2x²

Resolviendo esta ecuación cuadrática obtendremos los dos valores posibles de ab.

Muchos de ustedes se preguntarán por que no reemplazamos una ecuación en la otra. Intenten hacerlo, y fíjense hasta donde pueden llegar ...

C. En la expresión del enunciado parece como si hubieran dos cuadrados perfectos mezclados. Uno es (a-2)² = a² - 4a + 4 y el otro (b-3)² = b² - 6b + 9. Es decir que la expresión quedará así:

(a-2)² - 4 + (b-2)² - 9 + 11 = 0

(a-2)² + (b-3)² = 2

Como a y b son enteros entonces, también lo son a-2 y b-3. Entonces (a-2)² es un cuadrado perfecto al igual que lo es (b-3)², y como la única forma de expresar a 2 como suma de cuadrados es 2 = 1² + 1² entonces tenemos cuatro posibilidades. Sí, cuatro porque hay que tener en cuenta los casos en que a-2 y b-3 son negativos ya que sus cuadrados seguirán siendo positivos.

D. Como n es un cuadrado perfecto entonces n = x² con x entero positivo. Sumarle 1 a cada dígito de n es lo mismo que sumarle 1111 a n (pues n es un número de 4 cifras). ¿Por qué? Entonces por ser un cuadrado perfecto n + 1111 = y² tenemos que y es también entero positivo.

Si restamos miembro a miembro las dos ecuaciones resaltadas en azul, entonces:

1111 = y² - x² = (y - x) (y + x) por ser diferencia de cuadrados

Debido a que 1111 = 11 . 101 siendo 11 y 101 números primos y además sabemos que y > x porque al sumarle 1 a cada dígito de n se obtiene un número mayor, entonces tendremos sólo dos posibilidades.

Una es que y - x = 11 y que x + y = 101. Si sumamos ambas ecuaciones miembro a miembro, entonces 2y = 112 por lo que y = 56 y x = 45. Por lo que n = 2025 y n + 1111 = 56².

La otra posibilidad es que y - x = 1 y que x + y = 1111. Sumando también ambas ecuaciones tenemos que 2y = 1112 por lo que y = 556 y x = 555. Pero x² = 308025 que tiene más de cuatro cifras. Entonces hay una sola solución y es que n sea 2025.

La próxima clase seguiremos viendo ideas útiles para factorizar expresiones. Mientras tanto les dejamos algunos problemas para que se entretengan. Cualquier pregunta que tengan, ¡no duden en escribirnos!

Problemas

1. Hallar los valores enteros de a para los cuales a²+77 sea un cuadrado perfecto.

2. Hallar los valores enteros de x que satisfacen que x²-5x-1 es un cuadrado perfecto.

3. Sabiendo que abc + ab + bc + ac = 6 hallar los valores enteros de a, b y c. Dar todas las posibilidades.

4. Sabiendo que a + b = 2 y que a² + b² = 3 hallar a³ + b³.

5. Demostrar que si x² + y² + z² - xy - yz - xz = 0 entonces x = y = z.

Esta fue la tercera clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

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