Clase 8 - La tangente a una elipse

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Hasta ahora, en los cursos de Educabri 1998, 2000 y 2001, los lugares geométricos que vimos eran rectas, segmentos o circunferencias. Sin embargo, existe una variada gama de lugares geométricos que se pueden construir con el Cabri Geométre, como por ejemplo elipses, parábolas, hipérbolas, etc.

Para aquellos que no están familiarizados con estos lugares geométricos, vamos a dar una definición geométrica de cada uno de ellos:

Elipse: Dados dos puntos F y F´ una elipse es el lugar geométrico de los puntos P del plano tal que FP + F´P es una distancia fija. Los puntos F y F´ se denominan focos.

Parábola: Dada una recta r y un punto F, una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tal que la distancia de P a la recta r es igual a PF. La recta r se conoce como la directriz de la parábola, y F como el foco de la misma.

Hipérbola: Dados dos puntos F y F´ una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P del plano tal que FP - F´P es constante.

Vayamos al problema de la clase de hoy ...

Sea K una circunferencia de centro O, sea A un punto sobre ella y sea F un punto interior a la circunferencia distinto de O y que no esté en el borde de la misma. La mediatriz de AF interseca a AO en el punto P.

a) Hallar el lugar geométrico del punto P a medida que A se mueve sobre K.

b) Demostrar que, para un A fijo, la mediatriz de AF es tangente a dicho lugar geométrico.

Como en todos los problemas de lugares geométricos, valgámonos del Cabri a fin de poder proponer un posible lugar geométrico.

Si miramos la figura de la izquierda podríamos estar tentados a decir que el lugar geométrico de P es un circunferencia. En cambio, si nos basamos en la figura de la derecha podemos ver que se trata de una elipse. Es por este motivo, que cuando usamos Locus of points para ver lugares geométricos hay ser precavidos. Debemos mover algunos puntos, cambiar algunas rectas de lugar, etc. para ver si nuestra predicción se sigue cumpliendo en todos los casos.

En el problema en cuestión, es fácil ver que FP + PO = FA + PO = AO que es constante pues es el radio de la circunferencia. Es decir, que los puntos P se encuentran sobre una elipse de focos F y O.

¿Está completa la demostración?¿Podemos afirmar, a esta altura, que el lugar geométrico de P es la elipse mencionada? La respuesta es NO!!!!!

Podría suceder, por ejemplo, que el lugar geométrico de P sean puntos salteados de la elipse, que sea un fragmento de la misma, o alguna otra cosa.

Nos falta ver, entonces, que todos los puntos de la elipse pertenecen al lugar geométrico de P. Sea Q un punto cualquiera de la elipse. Entonces, de acuerdo con la definición de la elipse tenemos que QF + QO es constante es igual al radio de la circunferencia K. La semirecta OQ interseca a la circunferencia en el punto B. Dado que QF + QO = OB = QB + QO entonces tenemos que FQ = BQ por lo que Q es la intersección de la mediatriz de FB y OB.

Por tanto, tomando A en la posición que está B, al construir P coincidirá con el punto Q. Esto nos permite concluir que cualquier punto de la elipse pertenece al lugar geométrico de P por lo que finalmente podemos afirmar que el lugar geométrico de P es la elipse de focos O y F tal que la suma de las distancias de P a los focos es igual al radio de K.

Cuando hallamos lugares geométricos, es muy importante realizar las dos partes de la demostración. En nuestro ejemplo:

• Ida: Demostrar que todos los puntos de un lugar geométrico se encuentran sobre la elipse.

• Vuelta: Demostrar que todos los puntos de la elipse pertenecen al lugar geométrico.

Si demostramos sólo la ida podría suceder que halla puntos de esa figura geométrica que no pertenezcan al lugar geométrico. En cambio, si sólo demostramos la vuelta podría suceder que hayan otros puntos del plano que pertenezcan al lugar geométrico y que no los estemos considerando.

Vayamos, ahora, a la segunda parte del problema. Primero de todo, ¿qué significa que una recta sea tangente a una elipse?

Un definición rigurosa de tangencia involucra análisis matemático. Como no es nuestra intención hondear en la parte formal, vamos a conformarnos con una definición geométrica de tangencia que para las figuras como la elipse, circunferencia, parábola e hipérbola coincide con la definición analítica.

Digamos, entonces, que una recta será tangente a una elipse si la toca en un único punto. Razonemos por el absurdo suponiendo que para algún A la mediatriz de AF interseca a la elipse en más de un punto.

Sea P el punto de la elipse determinado por construcción y sea Q otro punto de la elipse que pertenece a la mediatriz de AF. La semirecta OQ interseca a la circunferencia en B. Dado que Q pertenece a la elipse entonces FQ + OQ = AO = OB = OQ + QB. Es decir, que FQ = QB. Dado que Q está en la mediatriz de AF entonces AQ = FQ de donde QB = AQ.

Esto último implica que QAB = QBA. Sin embargo, como AOB es isósceles sabemos que OBA = OAB por lo que QAO = 0°. Esto sucede si Q pertenece a la recta AO. Dado que Q también pertenece a la mediatriz de FA entonces Q = P. En conclusión, para todo punto A la mediatriz de AF es tangente a la elipse de focos F y O que habíamos hallado.

Problemas y actividades

1. Realiza una construcción de modo de obtener una parábola como lugar geométrico. Lo mismo para una hipérbola.

2. Dado un triángulo ABC, hallar el lugar geométrico de todos los puntos P tal que el área de ABP es igual al área de ACP (cuidado que no es sólo una recta).

3. En el problema de la clase de hoy, ¿qué hubiera pasado si F estaba sobre la circunferencia o si F fuera O?

Aquí va el problema que trataremos la próxima clase ...

Nivel Inicial: Construir la siguiente figura que tiene todos sus lados iguales y tiene ángulos internos de 75° y 300°.

Decidir si en alguna de las siguientes ternas de puntos están los tres alineados:

a) A, L y F
b) A, L y G
c) A, C y E

Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!

Esta fue la octava clase de EduCabri 2001, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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