Clase 7 - Caminando hacia la recta

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Esta clase veremos un problema que fue tomado en el nivel A y pertenece a la Segunda Ronda de la de la 11^ma Competencia de Clubes Cabri.

Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 1. Sea M el punto medio de CD. Hallar la distancia de M a la recta AC.

Aunque este problema no es para nada complicado, trajo muchas dificultades a los distintos clubes.

¿Se animan a construir la figura?

Si medimos los valores de AD y MP usando el comando Measure tenemos que MP/AD es alrededor de 0,45. Sin embargo, no podemos afirmar que éste sea el valor de MP y de hecho no lo es.

Una idea que ayuda mucho en los problemas donde hay que calcular la distancia de un punto a una recta, es hallar esta distancia conociendo el área de algún triángulo y su base.

Hallemos el área de AMC. Sabemos que MC = CD/2 = 1 y la altura desde A es AD = 1. Por tanto, el área de AMC es 0,5. Para calcular MP necesitamos entonces hallar la medida de AC pues el área de AMC también es igual AC.MP/2.

Como el ángulo ADC = 90° podemos utilizar el teorema de Pitágoras:

AD² + CD² = AC²

Entonces AC = . Por tanto podemos deducir que MP = . Si calculamos este valor con la calculadora nos da que es aproximadamente 0,447, bastante cercano al valor que da el programa. De todas formas les volvemos a repetir que esto último es una aproximación y no debe darse como resultado.

Existe otra alternativa para resolver el problema.

Dado que PCM = ACD y CPM = ADC = 90° entonces tenemos que MPC y ADC son triángulos semejantes. Plantemos las relaciones de la semejanza:

AD / MP = AC / MC

Como sabemos AD = MC = 1 y AC = por lo que reemplazando en la igualdad anterior hallamos la medida de MP.

Problemas y actividades

1. Sea ABCD un cuadrado, M el punto medio de AB y N el punto medio de BC. P es la intersección de MC y DN. ¿Cuánto valen PD, PC, PM y PN?

2. Sea ABC un triángulo tal que BC = 15, AC = 13 y la distancia de C a la recta AB mide 12. Hallar los posibles valores de la distancia de A a la recta BC.

Les dejamos el problema que veremos la clase próxima:

Nivel Avanzado: Sea K una circunferencia de centro O, sea A un punto sobre ella y sea F un punto interior a la circunferencia distinto de O y que no esté en el borde de la misma. La mediatriz de AF interseca a AO en el punto P.

a) Hallar el lugar geométrico del punto P a medida que A se mueve sobre K.

b) Demostrar que, para un A fijo, la mediatriz de AF es tangente a dicho lugar geométrico.

Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!

Esta fue la séptima clase de EduCabri 2001, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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